Question

6．如圖所示，水平傳送帶長(zhǎng)為L(zhǎng)=3m，傳送帶距地面高度為h=3m，傳送帶表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，傳送帶一直以速度v_傳=3m/s逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，在離傳送帶左端水平距離為d=1.2m的水平面上有一傾角為θ=53°，長(zhǎng)度為l=2.75m斜面，斜面動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5．現(xiàn)在把質(zhì)量為1kg的物體輕放在傳送帶的右端，物體將隨傳送帶運(yùn)動(dòng)．最后落入斜面下滑．取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）當(dāng)物體和傳送帶速度相等時(shí)相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的距離．
（2）皮帶由于傳送物體的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)多做了多少功．
（3）物體從放上傳送帶至滑到斜面底端時(shí)整個(gè)過(guò)程中所用時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出物塊的位移與傳送帶的位移，它們的差即為所求；
（2）皮帶由于傳送物體的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)多做的功轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能以及相同相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）物塊在整個(gè)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，先加速，再勻速，然后做平拋運(yùn)動(dòng)，最后在斜面上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合各段運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，由牛頓第二定律求出相應(yīng)的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出各段上的時(shí)間，求和即可．

解答 解：（1）物體在傳送帶上的加速度為${a}_{1}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}=3m/{s}^{2}$
達(dá)到相同速度所需時(shí)間為t₁
則a₁t₁=v_傳
解得：t₁=1s
在1s內(nèi)傳送帶前進(jìn)位移為x₁=v_傳t₁=3m
物塊前進(jìn)位移為${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×3×{1}^{2}m=1.5m$
故相對(duì)位移△x=x₁-x₂=1.5m
（2）電機(jī)作用將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和物塊的動(dòng)能，故電機(jī)作用為W=${μ}_{1}mg•△x+\frac{1}{2}{mv}_{傳}^{2}=0.3×1×10×1.5+\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$J=9J
（3）物體在傳送帶上做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{2}}{{v}_{傳}}=\frac{3-1.5}{3}=0.5$s
斜面的高度：h′=l•sin53°=2.75×0.8=2.2m
離開(kāi)傳送帶后物體做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，若恰好落在斜面的頂點(diǎn)，則：$h-h′=\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t₃=0.4s
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移：x=v_傳t₃=3×0.4=1.2m=d
說(shuō)明物體恰好落在斜面的頂點(diǎn)．
物體落到斜面的頂點(diǎn)后，沿豎直方向的分速度：v_y=gt₃=10×0.4=4m/s
物體運(yùn)動(dòng)的方向：$tanβ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{傳}}=\frac{4}{3}$
可得：β=53°
所以物體恰好沿斜面的方向進(jìn)入斜面，滑上斜面時(shí)的速度：$v=\sqrt{{v}_{傳}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$m/s
物體在斜面上受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面向下的方向：
mgsin53°-μmgcos53°=ma′
所以：a′=5m/s²
物體在斜面上加速下滑，其位移：$l=v{t}_{4}+\frac{1}{2}a′{t}_{4}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{4}=\sqrt{2.1}-1≈0.45$s
所以：物體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.5+0.4+0.45=2.35s
答：（1）當(dāng)物體和傳送帶速度相等時(shí)相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的距離是1.5m．
（2）皮帶由于傳送物體的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)多做了9J的功．
（3）物體從放上傳送帶至滑到斜面底端時(shí)整個(gè)過(guò)程中所用時(shí)間為2.35s．

點(diǎn)評(píng) 該題中，物體經(jīng)歷了多個(gè)不同的過(guò)程，在各個(gè)過(guò)程中物體的受力不同、運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)不同，要注意按照規(guī)范化的解答的步驟進(jìn)行解答，分段求解即可．