Question

6．如圖所示，水平傳送帶長為L=3m，傳送帶距地面高度為h=3m，傳送帶表面的動摩擦因數(shù)μ₁=0.3，傳送帶一直以速度v_傳=3m/s逆時針運動，在離傳送帶左端水平距離為d=1.2m的水平面上有一傾角為θ=53°，長度為l=2.75m斜面，斜面動摩擦因數(shù)μ₂=0.5．現(xiàn)在把質(zhì)量為1kg的物體輕放在傳送帶的右端，物體將隨傳送帶運動．最后落入斜面下滑．取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）當物體和傳送帶速度相等時相對傳送帶滑動的距離．
（2）皮帶由于傳送物體的過程中，電動機多做了多少功．
（3）物體從放上傳送帶至滑到斜面底端時整個過程中所用時間為多少？

Answer 1

分析 （1）對物塊進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度，然后結(jié)合運動學的公式求出物塊的位移與傳送帶的位移，它們的差即為所求；
（2）皮帶由于傳送物體的過程中，電動機多做的功轉(zhuǎn)化為物塊的動能以及相同相對運動產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）物塊在整個的運動過程中，先加速，再勻速，然后做平拋運動，最后在斜面上運動，結(jié)合各段運動的特點，由牛頓第二定律求出相應(yīng)的加速度，結(jié)合運動學的公式即可求出各段上的時間，求和即可．

解答 解：（1）物體在傳送帶上的加速度為${a}_{1}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}=3m/{s}^{2}$
達到相同速度所需時間為t₁
則a₁t₁=v_傳
解得：t₁=1s
在1s內(nèi)傳送帶前進位移為x₁=v_傳t₁=3m
物塊前進位移為${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×3×{1}^{2}m=1.5m$
故相對位移△x=x₁-x₂=1.5m
（2）電機作用將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和物塊的動能，故電機作用為W=${μ}_{1}mg•△x+\frac{1}{2}{mv}_{傳}^{2}=0.3×1×10×1.5+\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$J=9J
（3）物體在傳送帶上做勻速運動的時間：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{2}}{{v}_{傳}}=\frac{3-1.5}{3}=0.5$s
斜面的高度：h′=l•sin53°=2.75×0.8=2.2m
離開傳送帶后物體做平拋運動，運動的時間為t₃，若恰好落在斜面的頂點，則：$h-h′=\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t₃=0.4s
平拋運動的水平位移：x=v_傳t₃=3×0.4=1.2m=d
說明物體恰好落在斜面的頂點．
物體落到斜面的頂點后，沿豎直方向的分速度：v_y=gt₃=10×0.4=4m/s
物體運動的方向：$tanβ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{傳}}=\frac{4}{3}$
可得：β=53°
所以物體恰好沿斜面的方向進入斜面，滑上斜面時的速度：$v=\sqrt{{v}_{傳}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$m/s
物體在斜面上受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面向下的方向：
mgsin53°-μmgcos53°=ma′
所以：a′=5m/s²
物體在斜面上加速下滑，其位移：$l=v{t}_{4}+\frac{1}{2}a′{t}_{4}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{4}=\sqrt{2.1}-1≈0.45$s
所以：物體運動的總時間：t=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.5+0.4+0.45=2.35s
答：（1）當物體和傳送帶速度相等時相對傳送帶滑動的距離是1.5m．
（2）皮帶由于傳送物體的過程中，電動機多做了9J的功．
（3）物體從放上傳送帶至滑到斜面底端時整個過程中所用時間為2.35s．

點評 該題中，物體經(jīng)歷了多個不同的過程，在各個過程中物體的受力不同、運動的特點不同，要注意按照規(guī)范化的解答的步驟進行解答，分段求解即可．