Question

3．如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內且足夠長的平行金屬導軌，相距l(xiāng)=50cm導軌處在垂直紙面向里的磁感應強度B=5T的勻強磁場中．一根電阻為r=0.1Ω的金屬棒ab可緊貼導軌左右運動．兩塊平行的、相距d=10cm、長度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導軌相連接，圖中跨接在兩導軌間的電阻R=0.4Ω，其余電阻忽略不計．已知當金屬棒ab不動時，質量m=10g、帶電量q=1×10^-3C的小球以某一速度v₀沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10rn/s²）．求：

（1）小球的速度v₀；
（2）若使小球在金屬板間不偏轉，則金屬棒ab的速度大小和方向；
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運動的速度應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當金屬棒ab不動時，小球在金屬板間做平拋運動，根據水平位移和豎直位移，由運動學公式即可求得初速度v₀．
（2）若使小球在金屬板間不偏轉，小球在金屬板間受力必須平衡，電場力應豎直向上，小球帶負電，可判斷出電容器極板的電性，由右手定則判斷出金屬棒ab的運動方向．根據歐姆定律得到板間電壓與感應電動勢的關系，對于小球，根據平衡條件列式，求解即可．
（3）若要使小球能從金屬板間射出，可能從上板邊緣射出，也可能從下板邊緣射出，運用運動的分解，由牛頓第二定律和運動學公式結合求出金屬棒ab勻速運動的速度范圍．

解答 解：（1）根據題意，小球在金屬板間做平拋運動，水平位移為金屬板長L=20cm，豎直位移等于$\fracco6cius{2}$=5cm
根據平拋運動規(guī)律有：$\fracew6au0y{2}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
得 v₀=L$\sqrt{\frac{g}cmioocc}$=0.2×$\sqrt{\frac{10}{0.1}}$=2m/s
（2）欲使小球不偏轉，須小球在金屬板間受力平衡，根據題意應使金屬棒ab切割磁感線應產生感應電動勢，從而使金屬板A、C帶電，在板間產生勻強電場，小球所受電場大小等于小球的重力．
由于小球帶負電，電場力向上，所以電場方向向下，A板必須帶正電，金屬棒ab的a點應為感應電動勢的正極，根據右手定則，金屬棒ab應向右運動
設金屬棒ab的速度為V₁，則：E=BLv₁
金屬板A、C間的電壓：U=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$•
金屬板A、C間的電場 E_場=$\frac{U}0c6goao$
小球受力平衡：qE_場=mg
聯(lián)立以上各式解得：v₁=$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=$\frac{10×1{0}^{-3}×10×（0.4+0.1）×0.1}{1×1{0}^{-3}×5×0.5×0.4}$=5m/s
（3）當金屬棒ab的速度增大時，小球所受電場力大于小球的重力，小球將向上做類平拋運動，設金屬棒ab的速度達到v₂，小球恰A金屬板右邊緣飛出．
根據小球運動的對稱性，小球沿A板右邊緣飛出和小球沿C板右邊緣飛出，其運動加速度相同，
故有：qE_場-mg=mg
根據上式中結果得到：v₂=2$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=2v₁=10m/s
所以若小球能射出金屬板間，則金屬棒ab的速度大�。�0≤v≤10m/s，方向向右．
答：
（1）小球的速度v₀為2m/s．
（2）若使小球在金屬板間不偏轉，則金屬棒ab的速度大小為5m/s，向右運動．
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運動的速度應滿足0≤v≤10m/s，方向向右．

點評 本題是平拋運動、電磁感應和類平拋運動、電路的綜合，類平拋運動、平拋運動的研究方法相似：運動的合成和分解．但要注意加速度的區(qū)別，類平拋運動的加速度不是g，應根據牛頓第二定律求出．