Question

3．如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內(nèi)且足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)=50cm導(dǎo)軌處在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根電阻為r=0.1Ω的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌左右運(yùn)動(dòng)．兩塊平行的、相距d=10cm、長(zhǎng)度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導(dǎo)軌相連接，圖中跨接在兩導(dǎo)軌間的電阻R=0.4Ω，其余電阻忽略不計(jì)．已知當(dāng)金屬棒ab不動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m=10g、帶電量q=1×10^-3C的小球以某一速度v₀沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10rn/s²）．求：

（1）小球的速度v₀；
（2）若使小球在金屬板間不偏轉(zhuǎn)，則金屬棒ab的速度大小和方向；
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒ab不動(dòng)時(shí)，小球在金屬板間做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移和豎直位移，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求得初速度v₀．
（2）若使小球在金屬板間不偏轉(zhuǎn)，小球在金屬板間受力必須平衡，電場(chǎng)力應(yīng)豎直向上，小球帶負(fù)電，可判斷出電容器極板的電性，由右手定則判斷出金屬棒ab的運(yùn)動(dòng)方向．根據(jù)歐姆定律得到板間電壓與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系，對(duì)于小球，根據(jù)平衡條件列式，求解即可．
（3）若要使小球能從金屬板間射出，可能從上板邊緣射出，也可能從下板邊緣射出，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意，小球在金屬板間做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移為金屬板長(zhǎng)L=20cm，豎直位移等于$\frac6yejbrh{2}$=5cm
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：$\fracqiqiyho{2}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
得 v₀=L$\sqrt{\frac{g}y6jsnuz}$=0.2×$\sqrt{\frac{10}{0.1}}$=2m/s
（2）欲使小球不偏轉(zhuǎn)，須小球在金屬板間受力平衡，根據(jù)題意應(yīng)使金屬棒ab切割磁感線應(yīng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而使金屬板A、C帶電，在板間產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球所受電場(chǎng)大小等于小球的重力．
由于小球帶負(fù)電，電場(chǎng)力向上，所以電場(chǎng)方向向下，A板必須帶正電，金屬棒ab的a點(diǎn)應(yīng)為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正極，根據(jù)右手定則，金屬棒ab應(yīng)向右運(yùn)動(dòng)
設(shè)金屬棒ab的速度為V₁，則：E=BLv₁
金屬板A、C間的電壓：U=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$•
金屬板A、C間的電場(chǎng) E_場(chǎng)=$\frac{U}jqleb6r$
小球受力平衡：qE_場(chǎng)=mg
聯(lián)立以上各式解得：v₁=$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=$\frac{10×1{0}^{-3}×10×（0.4+0.1）×0.1}{1×1{0}^{-3}×5×0.5×0.4}$=5m/s
（3）當(dāng)金屬棒ab的速度增大時(shí)，小球所受電場(chǎng)力大于小球的重力，小球?qū)⑾蛏献鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬棒ab的速度達(dá)到v₂，小球恰A金屬板右邊緣飛出．
根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，小球沿A板右邊緣飛出和小球沿C板右邊緣飛出，其運(yùn)動(dòng)加速度相同，
故有：qE_場(chǎng)-mg=mg
根據(jù)上式中結(jié)果得到：v₂=2$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=2v₁=10m/s
所以若小球能射出金屬板間，則金屬棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s，方向向右．
答：
（1）小球的速度v₀為2m/s．
（2）若使小球在金屬板間不偏轉(zhuǎn)，則金屬棒ab的速度大小為5m/s，向右運(yùn)動(dòng)．
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)滿足0≤v≤10m/s，方向向右．

點(diǎn)評(píng) 本題是平拋運(yùn)動(dòng)、電磁感應(yīng)和類平拋運(yùn)動(dòng)、電路的綜合，類平拋運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法相似：運(yùn)動(dòng)的合成和分解．但要注意加速度的區(qū)別，類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度不是g，應(yīng)根據(jù)牛頓第二定律求出．