Question

一質(zhì)量為M的平頂小車，以速度V₀沿水平的光滑軌道作勻速直線運動．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小物塊無初速地放置在車頂前緣．已知物塊和車頂之間的動摩擦系數(shù)為μ．
（1）、若要求物塊不會從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長？
（2）、若車頂長度符合1問中的要求，整個過程中摩擦力共做了多少功？

Answer 1

（1）、物塊放到小車上以后，由于摩擦力的作用，當以地面為參考系時，物塊將從靜止開始加速運動，而小車將做減速運動，若物塊到達小車頂后緣時的速度恰好等于小車此時的速度，則物塊就剛好不脫落．令v表示此時的速度，在這個過程中，若以物塊和小車為系統(tǒng)，因為水平方向未受外力，所以此方向上動量守恒，即
Mv₀=（m+M）v                                   （1）
從能量來看，在上述過程中，物塊動能的增量等于摩擦力對物塊所做的功，即

1

2

mv2=μmgs1                                     （2）
其中s₁為物塊移動的距離．小車動能的增量等于摩擦力對小車所做的功，即
 

1

2

Mv2-

1

2

mv02=-μmgs2                           （3）
其中s₂為小車移動的距離．用l表示車頂?shù)淖钚￠L度，則
l=s₂-s₁                                             （4）
由以上四式，可解得  
l=

Mv02

2μg(m+M)

                                      （5）
即車頂?shù)拈L度至少應(yīng)為l=

Mv02

2μg(m+M)

．
（2）、由功能關(guān)系可知，摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動能的增量，即
W=

1

2

(M+m)v2-

1

2

Mv02                             （6）
由（1）、（6）式可得
W=-

mMv02

2(m+M)

                                       
故整個過程中摩擦力做的功為-

mMv02

2(m+M)