Question

7．如圖所示，一質量為m的小物體（可視為質點）以某一速度v₀滑上一水平軌道ABCD，AB段光滑，BC為水平傳送帶，CD為足夠長粗糙平面，三段軌道無縫連接．傳送帶BC段長度L=10m，以v=3m/s的速度向右勻速運動，已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，物體與粗糙平面CD之間動摩擦因數(shù)為μ=0.3，g取10m/s²．求：

（1）當v₀=2m/s時，物體在CD上滑行的距離；
（2）當v₀=5m/s時，物體通過傳送帶后，在傳送帶上留下的劃痕長度；
（3）速度v₀在何范圍內時，物體離開傳送帶后能到達同一位置．

Answer 1

分析 分別根據牛頓運動定律求出BC和CD的加速度；
（1）根據勻變速直線運動的規(guī)律求解勻加速的位移，從而知在CD的初速度，再根據速度位移關系知CD上距離．
（2）根據速度時間關系求共速的時間，根據時間求位移，從而知位移之差；
（3）物體離開傳送帶后能到達同一位置，則說明末速度一樣都為3m/s，根據速度位移關系求解初速度的范圍．

解答 解：根據牛頓運動定律：BC加速度大小a₁=$\frac{{μ}_{BC}mg}{m}$=2m/s²
CD段加速度大小a₂=μ_CDg=3m/s²
（1）當v₀=2m/s時，與傳送帶速度相同運動的位移x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{2}^{2}}{2×2}$m=1.25m＜L=10m，故滑上CD初速度為3m/s
在CD上滑行距離x′=$\frac{0-{v}^{2}}{-2{a}_{2}}$=$\frac{0-{3}^{2}}{-2×3}$=1.5m
（2）當v₀=5m/s時，物體通過傳送帶后，當v₀=2m/s時，與傳送帶速度相同運動的位移x₂=-$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{5}^{2}}{-2×2}$=4m＜10m，
故滑上CD初速度為3m/s，減速運動時間為t₂=$\frac{v-{v}_{0}}{-{a}_{1}}$=$\frac{3-5}{-2}$=1s，
此時傳送運動位移為s=vt₂=3m，故△l=x₂-s=4-3=1m
（3）物體離開傳送帶后能到達同一位置，則說明末速度一樣都為3m/s，設初速度為v₀，位移為L=10m
若v₀＞3m/s則做勻減速運動，v${\;}^{2}-{v}_{0}^{2}$=-2a₁L
解得初速度最大值v₀=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{1}L}$=$\sqrt{{3}^{2}+2×2×10}$m/s=7m/s
若v₀＜3m/s則做勻加速運動，由（1）分析知初速度最小為0
初速度的范圍為0-7m/s，物體離開傳送帶后能到達同一位置．
答：（1）當v₀=2m/s時，物體在CD上滑行的距離為1.5m；
（2）當v₀=5m/s時，物體通過傳送帶后，在傳送帶上留下的劃痕長度為1m；
（3）初速度的范圍為0-7m/s，物體離開傳送帶后能到達同一位置．

點評 此題考查傳送帶相關的問題，注意分析受力，明確運動過程，熟練應用勻變速直線運動的規(guī)律解題．