Question

一個(gè)圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開(kāi)口的薄壁圓管，管中井共軸，管下端未觸及井底。在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動(dòng)。開(kāi)始時(shí)，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示。現(xiàn)用卷?yè)P(yáng)機(jī)通過(guò)繩子對(duì)活塞施加一個(gè)向上的力F，使活塞緩慢向上移動(dòng)。已知管筒半徑r=0.100m，井口半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵Pa。求活塞上升H=9.00m的過(guò)程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長(zhǎng)，不計(jì)活塞質(zhì)量，不計(jì)磨擦，重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

解：從開(kāi)始提升到活塞升到外水面高度差為，活塞始終與管內(nèi)液體接觸。（再提升活塞時(shí)，活塞和水面之間將出現(xiàn)真空，另行討論）
設(shè)活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，h₀=h₁+h₂
因液體體積不變，有，得
題給H=9m>h₁，由此可知確實(shí)有活塞下面是真空的一段過(guò)程
活塞移動(dòng)距離從零到h₁的過(guò)程中，對(duì)于水和活塞這個(gè)整體，其機(jī)械能的增量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功因?yàn)槭冀K無(wú)動(dòng)能，所以機(jī)械能的增量也就是等于重力勢(shì)能的增量。即，其他力有管內(nèi)、管外的大氣和拉力F
因?yàn)橐后w不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功。，故外力做力就只是拉力F做的功，由功能關(guān)系知
即：
活塞移動(dòng)距離從h₁到H的過(guò)程中，液面不變，F(xiàn)是恒力，F(xiàn)做功

所求拉力F做的總功為