Question

4．把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列成一個數(shù)列．
（1）43251是這個數(shù)列的第幾項？
（2）求所有五位數(shù)的各位上的數(shù)字之和．

Answer 1

分析 （1）先考慮大于43251的數(shù)，利用間接法求解；
（2）因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有$A_4^4$個五位數(shù)，所以萬位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•$A_4^4$；同理它們在千位、十位、個位上也都有$A_4^4$個五位數(shù)，所以可求這個數(shù)列各項和．

解答 解：（1）先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類：
第一類：以5打頭的有：$A_4^4$=24
第二類：以45打頭的有：$A_3^3$=6
第三類：以435打頭的有：$A_2^2$=2
故不大于43251的五位數(shù)有：$A_5^5-（{A_4^4+A_3^3+A_2^2}）=88$（個）
即43251是第88項．
（2）因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有$A_4^4$個五位數(shù)，所以萬位上各個數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•$A_4^4$
同理它們在千位、百位、十位、個位上也都有個$A_4^4$五位數(shù)，所有五位數(shù)的各位上的數(shù)字之和5•（1+2+3+4+5）•$A_4^4$=1800．

點評 本題考查排列知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．