Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求

c

a

的值．
（2）若橢圓C的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為A、B，求證：∠F₁AB=90°．
（3）若P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)F₂、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足

RP

=-2

PF2

？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由b²=ac及b²=a²-c²能夠推導(dǎo)出

c

a

的值．
（2）由題設(shè)條件可得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，由此導(dǎo)出∠F₁AB=90°．
（3）由題設(shè)，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），求出R點(diǎn)坐標(biāo)利用題設(shè)條件進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由題設(shè)b²=ac及b²=a²-c²，得

c

a

=

5 -1

2

．
（2）由題設(shè)A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），
得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，
于是

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，
故∠F₁AB=90°．（10分）
（3）由題設(shè)，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F₂（c，0），及

RP

=-2

PF2

，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2c，kc），（12分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，
所以

(2c)2

a2

+

(kc)2

b2

=1，
又b²=ac，得4(

c

a

)2+k2•

c

a

=1，k2=

5-3 5

2

＜0，與k²≥0矛盾，
故不存在滿足題意的直線l．

點(diǎn)評：本題考查橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用和橢圓與直線的位置關(guān)系，難度較大，解題時要認(rèn)真審題仔細(xì)解答．