1.集合的含義與表示
(1)通過實(shí)例,了解集合的含義,體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系;
(2)能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用;
2.集合間的基本關(guān)系
(1)理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集;
(2)在具體情境中,了解全集與空集的含義;
3.集合的基本運(yùn)算
(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集;
(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集;
(3)能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算,體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。
有關(guān)集合的高考試題,考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系,近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡的考查,并向無限集發(fā)展,考查抽象思維能力,在解決這些問題時(shí),要注意利用幾何的直觀性,注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練,注意利用特殊值法解題,加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練。考試形式多以一道選擇題為主,分值5分。
預(yù)測2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識(shí)的工具作用,多以小題形式出現(xiàn),也會(huì)滲透在解答題的表達(dá)之中,相對(duì)獨(dú)立。具體題型估計(jì)為:
(1)題型是1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題;
(2)熱點(diǎn)是集合的基本概念、運(yùn)算和工具作用。
1.集合:某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。
(1)集合中的對(duì)象稱元素,若a是集合A的元素,記作;若b不是集合A的元素,記作;
(2)集合中的元素必須滿足:確定性、互異性與無序性;
確定性:設(shè)A是一個(gè)給定的集合,x是某一個(gè)具體對(duì)象,則或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立;
互異性:一個(gè)給定集合中的元素,指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象),因此,同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素;
無序性:集合中不同的元素之間沒有地位差異,集合不同于元素的排列順序無關(guān);
(3)表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法;
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號(hào)內(nèi);
描述法:把集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào){}內(nèi)。
具體方法:在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。
注意:列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn),應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法,要注意,一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí),不宜采用列舉法。
(4)常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;
正整數(shù)集,記作N*或N+;
整數(shù)集,記作Z;
有理數(shù)集,記作Q;
實(shí)數(shù)集,記作R。
2.集合的包含關(guān)系:
(1)集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集(或B包含A),記作AB(或);
集合相等:構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA,則稱A等于B,記作A=B;若AB且A≠B,則稱A是B的真子集,記作A B;
(2)簡單性質(zhì):1)AA;2)A;3)若AB,BC,則AC;4)若集合A是n個(gè)元素的集合,則集合A有2n個(gè)子集(其中2n-1個(gè)真子集);
3.全集與補(bǔ)集:
(1)包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集,記作U;
(2)若S是一個(gè)集合,AS,則,=稱S中子集A的補(bǔ)集;
(3)簡單性質(zhì):1)()=A;2)S=,=S。
4.交集與并集:
(1)一般地,由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A與B的交集。交集。
(2)一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩?i>B的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集。。
注意:求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合,區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”,在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí),常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件,結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá),增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。
5.集合的簡單性質(zhì):
(1)
(2)
(3)
(4);
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)。
題型1:集合的概念
例1.設(shè)集合,若,則下列關(guān)系正確的是( )
A. B. C. D.
解:由于中只能取到所有的奇數(shù),而中18為偶數(shù)。則。選項(xiàng)為D;
點(diǎn)評(píng):該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系,而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。
例2.設(shè)集合P={m|-1<m≤0,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則下列關(guān)系中成立的是( )
A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q
解:Q={m∈R|mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立=,對(duì)m分類:
①m=0時(shí),-4<0恒成立;
②m<0時(shí),需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。
綜合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案為A。
點(diǎn)評(píng):該題考察了集合間的關(guān)系,同時(shí)考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m,需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,不能忽略m=0的情況。
題型2:集合的性質(zhì)
例3.(2000廣東,1)已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的個(gè)數(shù)是( )
A.15 B.16 C.3 D.4
解:根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有24-1=15(個(gè))。選項(xiàng)為A;
點(diǎn)評(píng):該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí),A不是A的真子集。
變式題:同時(shí)滿足條件:①②若,這樣的集合M有多少個(gè),舉出這些集合來。
答案:這樣的集合M有8個(gè)。
例4.已知全集,A={1,}如果,則這樣的實(shí)數(shù)是否存在?若存在,求出,若不存在,說明理由。
解:∵;
∴,即=0,解得
當(dāng)時(shí),,為A中元素;
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
∴這樣的實(shí)數(shù)x存在,是或。
另法:∵
∴,
∴=0且
∴或。
點(diǎn)評(píng):該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時(shí),”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義:。
變式題:已知集合,,,求的值。
解:由可知,
(1),或(2)
解(1)得,
解(2)得,
又因?yàn)楫?dāng)時(shí),與題意不符,
所以,。
題型3:集合的運(yùn)算
例5.(06全國Ⅱ理,2)已知集合M={x|x<3,N={x|log2x>1},則M∩N=( )
A. B.{x|0<x<3 C.{x|1<x<3 D.{x|2<x<3
解:由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),且2>1,顯然由易得。從而。故選項(xiàng)為D。
點(diǎn)評(píng):該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。
例6.(06安徽理,1)設(shè)集合,,則等于( )
A. B. C. D.
解:,,所以,故選B。
點(diǎn)評(píng):該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。
題型4:圖解法解集合問題
例7.(2003上海春,5)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____ _。
解:∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又AB,利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系:如圖所示,因此有a≤-2。
點(diǎn)評(píng):本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。
例8.(1996全國理,1)已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},則( )
A.I=A∪B B.I=(A)∪B
C.I=A∪(B ) D.I=(A)∪(B)
解:方法一:A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù),B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù),顯然,只有C選項(xiàng)正確.
方法二:因A={2,4,6,8…},B={4,8,12,16,…},所以B={1,2,3,5,6,7,9…},所以I=A∪B,故答案為C.
方法三:因BA,所以()A()B,()A∩(B)=A,故I=A∪(A)=A∪(B)。
方法四:根據(jù)題意,我們畫出Venn圖來解,易知BA,如圖:可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。
點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握,注意數(shù)形結(jié)合的思想方法,用無限集考查,提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。
題型5:集合的應(yīng)用
例9.向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度,有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成,贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人?
解:贊成A的人數(shù)為50×=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如上圖,記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事件A的學(xué)生全體為集合A;贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。
設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x。依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人,都不贊成的有8人。
點(diǎn)評(píng):在集合問題中,有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集,韋恩圖法等,需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件,想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜,一時(shí)理不清頭緒,不好找線索。畫出韋恩圖,形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。
例10.求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù),又不是3的倍數(shù),也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)?
解:如圖先畫出Venn圖,不難看出不符合條件
的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
+(200÷30)=146
所以,符合條件的數(shù)共有200-146=54(個(gè))
點(diǎn)評(píng):分析200個(gè)數(shù)分為兩類,即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類,而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單,可考慮用扣除法。
題型7:集合綜合題
例11.(1999上海,17)設(shè)集合A={x||x-a|<2},B={x|<1},若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解:由|x-a|<2,得a-2<x<a+2,所以A={x|a-2<x<a+2}。
由<1,得<0,即-2<x<3,所以B={x|-2<x<3}。
因?yàn)?i>AB,所以,于是0≤a≤1。
點(diǎn)評(píng):這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算,解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例12.已知{an}是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實(shí)數(shù),它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}。
試問下列結(jié)論是否正確,如果正確,請給予證明;如果不正確,請舉例說明:
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)都在同一條直線上;
(2)A∩B至多有一個(gè)元素;
(3)當(dāng)a1≠0時(shí),一定有A∩B≠。
解:(1)正確;在等差數(shù)列{an}中,Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上。
(2)正確;設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解,由方程組消去y得:2a1x+a12=-4(*),
當(dāng)a1=0時(shí),方程(*)無解,此時(shí)A∩B=;
當(dāng)a1≠0時(shí),方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí),方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。
∴A∩B至多有一個(gè)元素。
(3)不正確;取a1=1,d=1,對(duì)一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),其橫、縱坐標(biāo)均為正,另外,由于a1=1≠0 如果A∩B≠,那么據(jù)(2)的結(jié)論,A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾,故a1=1,d=1時(shí)A∩B=,所以a1≠0時(shí),一定有A∩B≠是不正確的。
點(diǎn)評(píng):該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí),屬于知識(shí)交匯題。
變式題:解答下述問題:
(Ⅰ)設(shè)集合,,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義,首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義,然后才能提出解決問題的具體方法。
解:
的取值范圍是UM={m|m<-2}.
(解法三)設(shè)這是開口向上的拋物線,,則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于
注意,在解法三中,f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用,否則解答沒有這么簡單。
(Ⅱ)已知兩個(gè)正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析:命題中的集合是列舉法給出的,只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決,注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用,
(Ⅲ)
分析:正確理解
要使,
由
當(dāng)k=0時(shí),方程有解,不合題意;
當(dāng)①
又由
由②,
由①、②得
∵b為自然數(shù),∴b=2,代入①、②得k=1
點(diǎn)評(píng):這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題,解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容,才能由此尋求解決的方法。
題型6:課標(biāo)創(chuàng)新題
例13.七名學(xué)生排成一排,甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一,乙、丙都不能站在正中間的位置,則有多少不同的排法?
解:設(shè)集合A={甲站在最左端的位置},
B={甲站在最右端的位置},
C={乙站在正中間的位置},
D={丙站在正中間的位置},
則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示,
∴不同的排法有種.
點(diǎn)評(píng):這是一道排列應(yīng)用問題,如果直接分類、分步解答需要一定的基本功,容易錯(cuò),若考慮運(yùn)用集合思想解答,則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用,在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。
例14.A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合:①對(duì)任意,都有??; ②存在常數(shù),使得對(duì)任意的,都有
(1)設(shè),證明:
(2)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;
(3)設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。
解:
對(duì)任意,,,,所以
對(duì)任意的,
,
,
所以0<,
令=,
,
所以
反證法:設(shè)存在兩個(gè)使得,。
則由,
得,所以,矛盾,故結(jié)論成立。
,
所以
+…
。
點(diǎn)評(píng):函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的,而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中,題目比較新穎。
集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言,并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題,運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問題。
1.學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素,熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào),如、、、、=、A、∪,∩等等;
2.強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練,理解集合中代表元素的真正意義,注意利用幾何直觀性研究問題,注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練,加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練;解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容(即讀懂問題中的集合)以及各個(gè)集合之間的關(guān)系,常常根據(jù)“Venn圖”來加深對(duì)集合的理解,一個(gè)集合能化簡(或求解),一般應(yīng)考慮先化簡(或求解);
3.確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容,解決問題時(shí)應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。
① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2};
② AB時(shí),A有兩種情況:A=φ與A≠φ。
③若集合A中有n個(gè)元素,則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為,所有真子集的個(gè)數(shù)是-1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。
④區(qū)分集合中元素的形式:
如;
;
;
;
;
;
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別;0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。條件為,在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。
⑥符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的,立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(面)的關(guān)系 ;符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的,立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。
邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科,是人們認(rèn)識(shí)和研究問題不可缺少的工具,是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能,發(fā)展學(xué)生的思維能力。