直線、平面、簡單幾何體綜合訓(xùn)練
[模擬試題]
第I卷(選擇題 共60分)
在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 室內(nèi)有一根直尺,無論怎樣放置,在地面上總有這樣的直線,它與直尺所在的直線( )
A. 異面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
2. 正三棱錐相鄰兩側(cè)面所成的角為,則的取值范圍是( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,)
3. 已知二面角的大小為,和是兩條異面直線,則在下列四個條件中,不能使和所成的角為的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 已知直線、和平面,則的一個必要不充分條件是( )
A. , B. ,
C. , D. 、與成等角
5. 如圖,ABCD為正方形,點(diǎn)P為平面AC外一點(diǎn),PD⊥平面ABCD,PD=AD=,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為,點(diǎn)B到平面PAC的距離為,則有( )
A. B. C. D.
6. 把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,對于下列結(jié)論:
① AC⊥BD;② 是正三角形;③ AB與CD成角;④ AB與平面BCD成角。則其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
7. 若3個平面將空間分成部分,則的值為( )
A. 4 B. 4或6 C. 4或6或7 D. 4或6或7或8
8. 正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為( )
A. B. C. D.
9. 設(shè)地球表面積為S,則地球表面上從A地(北緯,東經(jīng))到B地(北緯,東經(jīng))的最短距離為( )
A. B. C. D.
10. 設(shè)球O的半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn),A與B、A與C的球面距離都為R,B與C的球面距離為,則球O在二面角內(nèi)的那一部分的體積是( )
A. B. C. D.
11. 如下圖,在正方體的側(cè)面內(nèi)有一點(diǎn)P到直線與到直線的距離相等,則動點(diǎn)P所在曲線的大致形狀是( )
A. 一條線段 B. 一段橢圓弧 C. 一段拋物線 D. 一段圓弧
12. 如圖是一個正方體紙盒的展開圖,若把1,2,3,4,5,6分別填入小正方形后,按虛線折成正方體,則所得正方體相對面上兩個數(shù)的和都相等的概率是( )
A. B. C. D.
第II卷(非選擇題 共90分)
13. 在正方體中,E、F分別是、DC的中點(diǎn),直線與平面ADE所成的角是 。
14. 一直角梯形ABCD,AB⊥AD,AD⊥DC,AB=2,BC=,CD=1,E為AD中點(diǎn),沿CE、BE把梯形折成四個面都是直角三角形的三棱錐,使點(diǎn)A、D重合,則這三棱錐的體積等于 。
15. 如下圖,在下列六個圖形中,每個小四邊形皆為全等的正方形,那么沿其正方形相鄰邊折疊,能夠圍成正方體的是 (要求:把你認(rèn)為正確圖形的序號都填上)。
16. 已知、是兩個不同的平面,,是平面及之外的兩條不同直線,給出四個論斷:① ;② ;③ ;④ 。以其中三個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題: 。
17. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E為DC邊的中點(diǎn),沿AE將折起,使二面角為。
(1)求DE與平面AC 所成角的大小
(2)求二面角的大小
18. 如圖,直三棱柱中,,,D為棱的中點(diǎn)。
(1)求異面直線與所成的角;
(2)求證:平面平面ADC
19. 已知S是所在平面外一點(diǎn),O是邊AC的中點(diǎn),,點(diǎn)P是SA的中點(diǎn)。
(1)求證:平面ABC
(2)求證:平面BOP
(3)若是等腰直角三角形,且,又SC與平面BOP的距離為,求二面角的大小。
20. 在棱長為1的正方體中
(1)P、Q分別是、上的點(diǎn)且,(如圖甲)。求證:PQ//平面
(2)M、N分別是、的中點(diǎn)(如圖乙),求直線AM與CN所成的角
(3)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)(如圖丙),試問在棱上能否找到一點(diǎn)H,使平面?若能,試確定點(diǎn)H的位置,若不能,請說明理由。
直線、平面、簡單幾何體綜合訓(xùn)練參考答案
[試題答案]
一.
1-6 DDCDDC 7-12 DDCBCB
二.
13. 14. 15. ①③⑥ 16. ②③④①或①③④②
三.
17. 如圖甲所示,過點(diǎn)D作DM⊥AE于M,延長DM與BC交于N,在翻折過程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不變,翻折后,如圖乙,為二面角的平面角,,AE⊥平面DMN,又因?yàn)?sub>平面,則平面平面DMN
圖甲 圖乙
(1)在平面DMN內(nèi),作DO⊥MN于O
∵ 平面AC⊥平面DNM ∴ DO⊥平面AC
連結(jié)OE,DO⊥OE,為DE與平面AC所成的角
如圖甲,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2
,
如圖乙,在直角三角形DOM中,,
在直角三角形DOE中,
則 ∴ DE與平面AC所成的角為
(2)如圖乙,在平面AC內(nèi),作OF⊥EC于F,連結(jié)DF
∵ DO⊥平面AC ∴ DF⊥EC ∴ 為二面角的平面角
如圖甲,作 于F,則∽
∴
如圖乙,在中,
如圖甲,,
在中,
∴ 二面角的大小為
18. 解法一:
(1)建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系。
設(shè),則(0,0,),C(0,,0),C1(0,,),D(,0,),于是,。
∵
∴ 異面直線與所成的角為
(2)∵ ,,
∴ ,
則, ∴ ⊥平面ADC,又平面
∴ 平面平面
解法二
(1)連結(jié)交于點(diǎn)E,取AD中點(diǎn)F,連結(jié)EF,則EF∥C1D
∴ 直線EF與A1C所成的角就是異面直線與所成的角
設(shè) 則
中,
直三棱柱中,面ABC,,則
∵
∴ 異面直線與所成的角為
(2)直三棱柱中, ∴ 平面,則
又 ,,,則,于是
∴ 平面,又 平面
∴ 平面平面ADC
19.
(1)在平面中, 又
∴ 即,
∴ 平面ABC
(2)∵ P是SA的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn) ∴ OP∥SC 而平面BOP
平面BOP ∴ SC∥平面BOP
(3)由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC
又等腰直角中,BO⊥AC,∴ BO⊥平面SAC
在中,作OM⊥SC于M,連BM,則BM⊥SC
∴ 為二面角的平面角
由,OM⊥OB知,OM⊥平面BOP
∴ OM是SC與平面BOP的距離,
又
在中, ∴
即二面角的大小為。
20.
(1)證法一:在上取點(diǎn),上取點(diǎn)Q,使
,由已 知得
∴ 且
在平面AA1B1B中同理可證QQ1∥AB,且
∴ ∴ PQ∥P1Q1 又 平面
∴ //平面AA1D1D
證法二:
以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,使下列各點(diǎn)的坐標(biāo)為D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),又已知P(,,1),Q(1,,),在、上取點(diǎn)P1、Q1,使?jié)M足,,則由定比分點(diǎn)公式得,,∴ ,
∴ ∴ PQ//平面AA1D1D
(2)解法一:
取AB中點(diǎn),CC1中點(diǎn)連、、,則,
∴ 即為AM與CN所成的角
在中,
,由余弦定理得
∴ AM與CN所成的角為。
解法二:
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,使下列各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0),M(1,,1),N(1,1,),C(0,1,0)
∴ ,
∴
∴ AM與CN所成的角為
(3)解法一:
能找到點(diǎn)H。∵ ∴ BH在底面的射影為BD,則BH⊥EF恒成立,若BH⊥平面BEF,則HB⊥B1F必成立。設(shè)H在BB1C1C內(nèi)射影為H1,必成立。
易證,∴ ,即H1是CC1中點(diǎn)。
∴ H也必是DD1中點(diǎn),∴ 這樣的點(diǎn)存在且是DD1之中點(diǎn)。
解法二:
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)H坐標(biāo)為(0,0,),B1(1,1,0),B(1,1,0),F(xiàn)(,1,0),BH⊥EF恒成立(如解法一)
若BH⊥平面B1EF,則BH⊥B1F。即
又,
∴ 即
∴ ,故存在點(diǎn)H是DD1之中點(diǎn)