高中數(shù)學(xué)新題型選編參考答案

參考答案:

1　 解析　 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)　

直線AC所在方程為x－3y+2=0,

點(diǎn)B到該直線的距離為d=　

∵m∈(1,4),∴當(dāng)時(shí)，S_△ABC有最大值，此時(shí)m=　

答案　 B

2　 解析　 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x²+y²=2上的點(diǎn)與雙曲線xy=9上的點(diǎn)的距離的最小值　

答案　 C

3　 解析　 設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),以OA為直徑的圓　 x²－ax+y²=0,兩式聯(lián)立消y得x²－ax+b²=0　 即e²x²－ax+b²=0,該方程有一解x₂,一解為a,由韋達(dá)定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1　

答案　 ＜e＜1

4　 解析　 由題意可設(shè)拋物線方程為x²=－ay,

當(dāng)x=時(shí)，y=－；當(dāng)x=0　 8時(shí)，y=－　

由題意知≥3,即a²－12a－2　 56≥0　 解得a的最小整數(shù)為13　

答案　 13

5　 解析　 設(shè)P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)

∵BP⊥PQ,∴=－1,

即t²+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0　 即s²+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1　

答案　 (－∞,－3∪1,+∞)

6　 解　 設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)　

由,得(1－k²)x²+2kx－2=0,

又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，

故有

解得－＜k＜－1

7　 解　 由拋物線y²=4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l　 x=－1　

(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化簡得P點(diǎn)軌跡方程為y²=x－1(x＞1)　

(2)設(shè)Q(x,y),則

|MQ|=　

(ⅰ)當(dāng)m－≤1,即m≤時(shí)，函數(shù)t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值　

(ⅱ)當(dāng)m－＞1,即m＞時(shí)，函數(shù)t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－處有最小值m－,∴|MQ|_min=　

8　 解　 (1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4　

∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓　

設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1　

∴曲線C的方程為+y²=1　

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0　

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞　

由圖可知=λ

由韋達(dá)定理得

將x₁=λx₂代入得

兩式相除得

　　　　 ①

M在D、N中間，∴λ＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ=　(此時(shí)直線l與y軸重合)　

課前后備注 　

學(xué)法指導(dǎo)　 怎樣學(xué)好圓錐曲線

圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了完美結(jié)合　 借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了坐標(biāo)系那天就已經(jīng)開始　

高考中它依然是重點(diǎn)，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有　 為此需要我們做到　

1　 重點(diǎn)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)　 這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容　

2　 重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大　 所以要掌握住一般方法　 定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等　

3　 加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)　 此處一直為高考的熱點(diǎn)　 這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決　 這樣加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)各種能力的考查　

4　 重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程　

(1)方程思想

解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量　

(2)用好函數(shù)思想方法

對于圓錐曲線上的一些動點(diǎn)，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a,b,c,e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效　

(3)掌握坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法　 近幾年都考查了坐標(biāo)法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練