例1.如圖,在四棱錐中,,平面,
且,,求點(diǎn)到平面的距離.
解:取的方向分別為的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,.,
設(shè)平面的法向量為,.所以可令,點(diǎn)到
平面的距離=.
例2.如圖,已知是正方形,平面,,
分別是的中點(diǎn),求異面直線與之間的距離。
解:以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,
,,是異面直線與的公共法向量,則即;即+=0.所以=,所以異面直線與之間的距離.
例3.如圖,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,.側(cè)棱,分別是與的中點(diǎn),點(diǎn)在平面上的射影是的重心.
求與平面所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
求點(diǎn)到平面的距離.
(1)建立如圖坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,
,,則=,
,,則=,,取平面法向量為,則與夾角為與平面所成角的余角.所以cos, 所以與平面所成角為.
(2)由(1)知,設(shè)平面的法向量為,,即,即,所以令法向量.所以點(diǎn)到平面的距離為.
例4.過正方形的頂點(diǎn)A,引,若,
則平面與平面所成的二面角的大?。?/p>
解:以為原點(diǎn),分別為軸軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。
則, , , ,則,.設(shè)平面PCD的法向量為,,即;,即.所以可令;設(shè)平面PAB的法向量為,所以平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.所以平面與平面所成的二面角的平面角為.
既然可以利用兩個(gè)平面的法向量求兩平面的夾角,也可以利用兩個(gè)平面法向量證明兩平面垂直.如下面的例5.可以先求兩平面的法向量,再計(jì)算它們的數(shù)量積.
例5.如圖,正四棱柱中,底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為4,分別為棱的中點(diǎn).
求證:平面平面
解:以為原點(diǎn),分別
為建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,
,,
設(shè)平面EF的法向量為,
則=0;即.所以令=
設(shè)平面的法向量為=,,即4=0; ,即.所以可令. =0
平面平面.
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