1.對于,給出下列四個不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ( D )
A.①與③ B.①與④ C.②與③ D.②與④
2.設z=x-y ,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為
( A )
(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3
3.不等式的解集是 ( A )
A. B.
C. D.
4.不等式的解集為 ( A )
A. B.
C. D.
5.一元二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是: ( C )
A. B. C. D.
6. 若是等差數(shù)列,首項,則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是: ( B )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
7.已知a、b、c滿足,且,那么下列選項中不一定成立的是 ( C )
A. B. C. D.
8.函數(shù)上的最大值和最小值之和為a,則a的值為 ( B )
A. B. C.2 D.4
9.若,則下列不等式①;②③;
④中,正確的不等式有 ( B )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.設集合
,那么點P(2,3)的充要條件是( A )
A. B.
C. D.
11.設則以下不等式中不恒成立的是 ( B )
A. B.
C. D.
12.命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;
命題q:函數(shù)y=的定義域是(-∞,-1∪[3,+∞.則 ( D )
A.“p或q”為假 B.“p且q”為真
C.p真q假 D.p假q真
13.的最小值為
( B )
A.- B.- C.-- D.+
14.不等式的解集為 ( A )
A. B.
C. D.
15.設函數(shù) ,則使得的自變量的取值范圍為 ( A )
A. B.
C. D.
16.不等式的解集為 ( D )
A. B. C. D.
17.不等式|x+2|≥|x|的解集是 {x|x≥-1} .
18.已知則不等式≤5的解集是 .
19.在函數(shù)中,若a,b,c成等比數(shù)列且,則有最____大__________值(填“大”或“小”),且該值為_____-3_________.
20.某村計劃建造一個室內面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內,沿左.右兩側與后側內墻各保留1寬的通道,沿前側內墻保留3寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時?蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少?
本小題主要考查把實際問題抽象為數(shù)學問題,應用不等式等基礎知識和方法解決問題的能力.
解:設矩形溫室的左側邊長為a m,后側邊長為b m,則 ab=800.
蔬菜的種植面積
所以
當
答:當矩形溫室的左側邊長為40m,后側邊長為20m時,蔬菜的種植面積最大,最大種植面積為648m2.
21.已知數(shù)列的前項和滿足.
(1)寫出數(shù)列的前三項;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)證明:對任意的整數(shù),有 .
本小題主要考查數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和以及不等式的證明.考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.
(Ⅰ)解:由
由
由
(Ⅱ)解:當時,有
……
所以
經驗證a1也滿足上式,所以
(Ⅲ)證明:由通項公式得
當且n為奇數(shù)時,
當為偶數(shù)時,
當為奇數(shù)時,
所以對任意整數(shù)m>4,有
22.已知函數(shù)滿足下列條件:對任意的實數(shù)x1,x2都有
和,其中是大于0的常數(shù).
設實數(shù)a0,a,b滿足 和
(Ⅰ)證明,并且不存在,使得;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)證明.
本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識,以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分14分.
證明:(I)任取
和 ②
可知 ,
從而 . 假設有①式知
∴不存在
(II)由 ③
可知 ④
由①式,得 ⑤
由和②式知, ⑥
由⑤、⑥代入④式,得
(III)由③式可知
(用②式)
(用①式)
23.如圖,直線相交于點P.直線l1與x軸交于點P1,過點P1作x軸的垂線交直線l2于點Q1,過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2,過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2,…,這樣一直作下去,可得到一系列點P1、Q1、P2、Q2,…,點Pn(n=1,2,…)的橫坐標構成數(shù)列
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)比較的大小.
(Ⅰ)證明:設點Pn的坐標是,由已知條件得
點Qn、Pn+1的坐標分別是:
由Pn+1在直線l1上,得
所以 即
(Ⅱ)解:由題設知 又由(Ⅰ)知 ,
所以數(shù)列 是首項為公比為的等比數(shù)列.
從而
(Ⅲ)解:由得點P的坐標為(1,1).
所以
(i)當時,>1+9=10.
而此時
(ii)當時,<1+9=10.
而此時
24.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元,因設備老化等原因,企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造,預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元,今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造,預測在未扣除技術改造資金的情況下,第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數(shù)).
(Ⅰ)設從今年起的前n年,若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元,進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術改造資金),求An、Bn的表達式;
(Ⅱ)依上述預測,從今年起該企業(yè)至少經過多少年,進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤?
本小題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎知識,考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ)依題設,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.
(Ⅱ)Bn-An=(500n--100) -(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10[n(n+1) - -10].
因為函數(shù)y=x(x+1) --10在(0,+∞)上為增函數(shù),
當1≤n≤3時,n(n+1) - -10≤12--10<0;
當n≥4時,n(n+1) - -10≥20--10>0.
∴僅當n≥4時,Bn>An.
答:至少經過4年,該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.