難點39　 化歸思想 化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想.等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法. ●難點磁場 1.()一條路上共有9個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中3個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)為　　　　　 . 2.()已知平面向量a=(–1),b=(). (參考答案

參 考 答 案

●難點磁場

1.解析：9個燈中關(guān)閉3個等價于在6個開啟的路燈中，選3個間隔(不包括兩端外邊的裝置)插入關(guān)閉的過程故有C=10種

答案：10

2.(1)證明：∵a.b==0，∴a⊥b

(2)解：∵x⊥y,∴x.y=0

即［a+(t²–3)b］.(–ka+tb)=0，整理后得

–ka²+［t–k(t²–3)］a.b+t(t²–3).b²=0

∵a.b=0,a²=4,b²=1

∴上式化為–4k+t(t²–3)=0，∴k=t(t²–3).

(3)解：討論方程t(t²–3)–k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t²–3)與直線y=k的交點個數(shù)

于是f′(t)=(t²–1)=(t+1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t₁=–1,t₂=1.當t變化時，f′(t),f(t)的變化情況如下表：

t	(–∞,–1)	–1	(–1,1)	1	(1,+∞)
f′(t)	+	0	–	0	+
f(t)	↗	極大值	↘	極小值	↗

當t=–1時，f(t)有極大值，f(t)_極大值=；

當t=1時，f(t)有極小值，f(t)_極小值=–.

而f(t)=(t²–3)t=0時，得t=–,0,.

所以f(t)的圖象大致如右：

于是當k>或k<–時，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點，則方程有一解；

當k=或k=–時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；當k=0，直線與曲線有三個交點，但k、t不同時為零，故此時也有兩解；當–<k<0或0<k<時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解

●殲滅難點訓練

一、1.解析：分析直線l₂的變化特征，化數(shù)為形，已知兩直線不重合，因此問題應(yīng)該有兩個范圍即得解

答案：C

2.解析：化和的比為項的比∵.

∴,取極限易得

答案：A

二、3.解析：轉(zhuǎn)化為先求對立事件的概率即四人生日各不相同的概率

答案：

4.解析：轉(zhuǎn)化為f′(x)=3x²–3b在(0，1)內(nèi)與x軸有兩交點只須f′(0)<0且f′(1)>0.

答案：0<b<1

三、5.解：(1)原不等式等價于

即　 ∴x≥

∴原不等式的解集為{x|x≥}.

(2)x∈［0,1］時，f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈［0,1］時恒成立.即恒成立

即x∈［0,1］時，t≥–2x+恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求–2x+,x∈［0,1］的最大值問題

令μ=,則x=μ²–1,則μ∈［1,］.

∴2x+=–2(μ–)²+.

當μ=1即x=0時，–2x+有最大值1

∴t的取值范圍是t≥1.

6.(1)解：{a_n}的前n項和S_n=a₁+a₂+…+a_n=f(1)=n²,由a_n=S_n–S_n–1=n²–(n–1)²=2n–1(n≥2),又a₁=S₁=1滿足a_n=2n–1.故{a_n}通項公式為a_n=2n–1(n∈N^*)

∴

(2)證明：∵f()=1.+3.+…+(2n–1)　　　　　　　　 ①

∴f()=1.+3.+…+(2n–3)+(2n–1)　　 ②

①–②得：f()=1.+2.+2.+…+2.–(2n–1).

∴f()=++++…+–(2n–1)=1–.

∵　(n∈N^*)

∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1

7.解：(1)設(shè)AB∶y=k(x–1)+2代入x²–=1.

整理得(2–k²)x²–2k(2–k)x–(2–k)²–2=0　　　　　　 ①

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),x₁,x₂為方程①的兩根

所以2–k²≠0且x₁+x₂=.又N為AB中點，

有(x₁+x₂)=1.∴k(2–k)=2–k²,解得k=1.故AB∶y=x+1.

(2)解出A(–1，0)、B(3，4)得CD的方程為y=3–x.與雙曲線方程聯(lián)立.消y有x²+6x–11=0　　　　　　　　　　 ②

記C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)及CD中點M(x₀,y₀)由韋達定理可得x₀=–3,y₀=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓.

8.提示：f′(x)=3x²–3=3(x–1)(x+1)易確定f(–1)=2是極大值，f(1)=–2是極小值.當–2<a<2時有三個相異交點.