1.()已知其中a∈R,則a的取值范圍是( )
A.a<0 B.a<2或a≠–2
C.–2<a<2 D.a<–2或a>2
2.()四面體的頂點和各棱的中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有( )
A.150種 B.147種 C.144種 D.141種
3.()已知線段AB在平面α外,A、B兩點到平面α的距離分別為1和3,則線段AB的中點到平面α的距離為 .
4.()已知集合A={x|x2–3x+2=0},B={x|x2–ax+(a–1)=0},C={x|x2–mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,則a的值為 ,m的取值范圍為 .
5.()已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B同時滿足:
①A∩B≠,②A∩B={–2}.求p、q的值.
6.()已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ>0).求動點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.
7.()已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線.當n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設(shè)數(shù)列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定義.
(1)求x1、x2和xn的表達式;
(2)計算xn;
(3)求f(x)的表達式,并寫出其定義域.
8.()已知a>0時,函數(shù)f(x)=ax–bx2
(1)當b>0時,若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2b;
(2)當b>1時,證明:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b–1≤a≤2;
(3)當0<b≤1時,討論:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件.
難點38 分類討論思想 分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多,利于考查學生的知識面、分類思想和技巧;同時方式多樣,具有較高的邏輯性及很強的綜合性,樹立分類討論思想,應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體,明確分類的標準,分層別類不重復、不遺漏的分析討論.” ●難點磁場 1.()若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點,則a的取值為 . 2.()設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x–a|+1,x∈R. (1)判斷函數(shù)參考答案
參 考 答 案
●難點磁場
1.解析:即f(x)=(a–1)x2+ax–=0有解.
當a–1=0時,滿足.當a–1≠0時,只需Δ=a2–(a–1)>0.
答案:或a=1
2.解:(1)當a=0時,函數(shù)f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數(shù).
當a≠0時,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)①當x≤a時,函數(shù)f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+
若a≤,則函數(shù)f(x)在(–∞,a]上單調(diào)遞減.
從而函數(shù)f(x)在(–∞,a上的最小值為f(a)=a2+1
若a>,則函數(shù)f(x)在(–∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).
②當x≥a時,函數(shù)f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+
若a≤–,則函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(–)=–a,且f(–)≤f(a);
若a>–,則函數(shù)f(x)在[a,+∞)單調(diào)遞增.
從而函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.
綜上,當a≤–時,函數(shù)f(x)的最小值為–a;
當–<a≤時,函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;
當a>時,函數(shù)f(x)的最小值是a+.
●殲滅難點訓練
一、1.解析:分a=2、|a|>2和|a|<2三種情況分別驗證.
答案:C
2.解析:任取4個點共C=210種取法.四點共面的有三類:(1)每個面上有6個點,則有4×C=60種取共面的取法;(2)相比較的4個中點共3種;(3)一條棱上的3點與對棱的中點共6種.
答案:C
二、3.解析:分線段AB兩端點在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.
答案:1或2
4.解析:A={1,2},B={x|(x–1)(x–1+a)=0},
由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2;
由A∩C=C,可知C={1}或.
答案:2或3 3或(–2,2)
三、5.解:設(shè)x0∈A,x0是x02+px0+q=0的根.
若x0=0,則A={–2,0},從而p=2,q=0,B={–}.
此時A∩B=與已知矛盾,故x0≠0.
將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02,得
.
即滿足B中的方程,故∈B.
∵A∩={–2},則–2∈A,且–2∈.
設(shè)A={–2,x0},則B={},且x0≠2(否則A∩B=).
若x0=–,則–2∈B,與–2B矛盾.
又由A∩B≠,∴x0=,即x0=±1.
即A={–2,1}或A={–2,–1}.
故方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數(shù)根–2,1或–2,–1
∴
6.解:如圖,設(shè)MN切圓C于N,則動點M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|,λ>0}.
∵ON⊥MN,|ON|=1,
∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1
設(shè)動點M的坐標為(x,y),
則
即(x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.
經(jīng)檢驗,坐標適合這個方程的點都屬于集合P,故方程為所求的軌跡方程.
(1)當λ=1時,方程為x=,它是垂直于x軸且與x軸相交于點(,0)的直線;
(2)當λ≠1時,方程化為:
它是以為圓心,為半徑的圓.
7.解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,當0≤y≤1,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段,故由
∴x1=1
又由f(x2)=2,當1≤y≤2時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由
即x2–x1=
∴x2=1+
記x0=0,由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn–1,故得
又由f(xn)=n,f(xn–1)=n–1
∴xn–xn–1=()n–1,n=1,2,……
由此知數(shù)列{xn–xn–1}為等比數(shù)列,其首項為1,公比為.
因b≠1,得(xk–xk–1)
=1++…+
即xn=
(2)由(1)知,當b>1時,
當0<b<1,n→∞, xn也趨于無窮大.xn不存在.
(3)由(1)知,當0≤y≤1時,y=x,即當0≤x≤1時,f(x)=x;
當n≤y≤n+1,即xn≤x≤xn+1由(1)可知
f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,…),由(2)知
當b>1時,y=f(x)的定義域為[0,);
當0<b<1時,y=f(x)的定義域為[0,+∞).
8.(1)證明:依設(shè),對任意x∈R,都有f(x)≤1
∵
∴≤1
∵a>0,b>0
∴a≤2.
(2)證明:必要性:
對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1–1≤f(x),據(jù)此可以推出–1≤f(1)
即a–b≥–1,∴a≥b–1
對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1f(x)≤1.
因為b>1,可以推出f()≤1即a.–1≤1,
∴a≤2,∴b–1≤a≤2
充分性:
因為b>1,a≥b–1,對任意x∈[0,1].
可以推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1
即ax–bx2≥–1
因為b>1,a≤2,對任意x∈[0,1],可以推出ax–bx2≤2x–bx2≤1
即ax–bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1
綜上,當b>1時,對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b–1≤a≤2.
(3)解:∵a>0,0<b≤1
∴x∈[0,1],f(x)=ax–bx2≥–b≥–1
即f(x)≥–1
f(x)≤1f(1)≤1a–b≤1
即a≤b+1
a≤b+1f(x)≤(b+1)x–bx2≤1
即f(x)≤1
所以當a>0,0<b≤1時,對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是a≤b+1.