1．(人教版P85例2)

　 如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出

圖中與、、相等的向量。

變式1：

如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出

圖中與、共線的向量。

解：

變式2：

如圖2，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出

圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：

2.(人教版第96頁例4)

如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，

你能用a，b表示向量 ，嗎？

變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，

a ，b ，c ，d ，

試用a ，b ， c ， d表示向量和.

解：( a + b + d )

( d + a + b +c )

變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a ，b

則下列各表述是正確的為( 　)

A．　　　 B．　

C．a + b 　　　　D．(a + b)

正確答案：選D

變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則(　　 )

A.　 a+b+c+d=0　　 　　　　　　　　　　 　　 B.　 a－b+c－d=0

C.　 a+b－c－d=0　　　　　　　　　　　 　　 D.　 a－b－c+d=0

正確答案：選A

變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是(　)

A．平行四邊形　　B．菱形　　C．梯形　　 　D．矩形

正確答案：選C

變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a－b)垂直的　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．充分但不必要條件　　 　　　　　　　　　　　 B．必要但不充分條件　

　　 C．充要條件　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要條件

正確答案：選C

變式6：在四邊形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為(　　 )

A.平行四邊形　　　　　　　　　　 B.矩形　　　　　　　　　　　　 C.梯形　　　　　　　　　　　　 D.菱形

[解析] ∵==－8a－2b=2，∴.

∴四邊形ABCD為梯形.

正確答案：選C

變式7：已知菱形ABCD，點(diǎn)P在對角線AC上(不包括端點(diǎn)A、C)，則等于(　 )

A.λ(+),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.λ(+),λ∈(0,)

C.λ(－),λ∈(0,1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.λ(),λ∈(0,)

[解析] 由向量的運(yùn)算法則=+，而點(diǎn)P在對角線AC上，所以與同向，且||＜||,∴=λ(+),λ∈(0,1).

正確答案：選 A

變式8：已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=，=,則下列各式：　 ①=－　　　 ?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384168_1/image050.gif">=　+　

③=－　+　 　　?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384168_1/image037.gif">++=

其中正確的等式的個(gè)數(shù)為(　　 )

A.1　　　　　 　　　 B.2 　　　　　　　　 C.3　　　　　 　　　 D.4

正確答案：選B

3．(人教版第98頁例6)

如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b，

a + 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？

變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，證明：A、B、C三點(diǎn)共線．

證明：∵a + 2b，2a + 4b，

∴ 　所以，A、B、C三點(diǎn)共線．

變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，試求m、n之間的關(guān)系．

解：a + b ，a + 2b

由A、B、C三點(diǎn)在同一直線上可設(shè)，

則 　　所以 　　即 為所求．

4．(人教版第102頁第13題)

已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：

變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，

求證：.

證明：如圖，連接EB和EC ，

　 由和可得，　 (1)

　 由和可得，　 (2)

(1)+(2)得， 　　　　(3)

∵E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，∴，，

代入(3)式得，

2.(人教版第109頁例6)

已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．

變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為(　 )

A．　 　　　　　　　　　　B．

C．　或　　　　 D．　或

正確答案：選C

變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2a－b共線時(shí)，值為 (　　 )

A．1　　　　　 B．2　　　　 C．　　　 　D．

正確答案：選D

變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 與方向相反的單位向量是(　　 )

A．(0,1) 　　　　　 B．(0,－1)　　　 　 C． (－1,1)　　　　 D．(1,－1)

正確答案：選A

變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．試問：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)， ka－b與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？

　 解：因?yàn)?i> ka－b ，a+3b．

由已知得，　 解得 ，

此時(shí)，ka－b ，a+3b，二者方向相反．

2.(人教版第110頁例8)

設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，．

(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)

變式1：已知兩點(diǎn)，，，則P點(diǎn)坐標(biāo)是　 (　　 )

A．　 　B．　 　C．　 　　D．

正確答案：選B

變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，

若＝a，＝b，則＝　　 　，

＝　　 　　　　　 (用a、b表示)

5．(人教版第116頁例3)

已知|a|＝6，|b| ＝4且a與b的夾角為，求 (a + 2b).(ab) ．

變式1：已知那么與夾角為

A、　　　　　 B、　　　　 　C、　 　　　　D、

正確答案：選C

變式2：已知向量a和b的夾角為60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，則(2a – b).a等于

　 (A)15　　　　　　　　 　 (B)12　　　　　　 　　 (C)6　　　　　　　　 (D)3

正確答案：選B

變式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S_△ABC=，則.等于(　　 )

A.－2　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.±2　 　　　　　　 D.±4

正確答案：選C

變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

　 解：∵，故，

解之?。?

另有，解之，

∴．

2.(人教版第116頁例4)

已知|a|＝3，|b| ＝4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a + kb 與ab互相垂直？

變式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b與kab互相垂直，則k的值為(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．1

正確答案：選B

變式2：已知|a|＝1，|b| ＝且(a－b)⊥a，則a與b夾角的大小為　 45º　　 ．

解：

2.(人教版第119頁 第11題)

已知a = (4，2)，求與向量a 垂直的單位向量的坐標(biāo)．

變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是 (　　　 )

A．3i+2j　　　　 　　　 B．－2i+3j　　　 　　　 C．－3i+2j　　 　 D．2i－3j

正確答案：選C

變式2：已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)=(　　 )

A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　　 C．0　　　　　　　　　　　　 D．2

正確答案：選B

變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

正確答案：選B

變式4：已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)， c＝(2，y)且a∥b，ac．求|b－c|的值．

解：∵ a∥b，∴ 3x+8＝0． ∴x＝．　　 ∴ b＝(2， ) ．

∵ ac，　　　 ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝．　　 ∴　 c＝(2， )．

而b－c ＝(2，)－(2，)＝(0，－)，

∴ |b－c|＝．

(人教版第118頁例5)

已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明．

變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則　一定為(　　 )

A．正三角形　 B．等腰直角三角形　 C．直角三角形　　 D．斜三角形

正確答案：選C

變式2：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若++＝0，

則O是△ABC的(　　 )

A． 重心　　　　　　 B． 垂心　　　　　　 　 　　 C． 內(nèi)心　　　　　　　　　　 D． 外心

正確答案：選A

變式3：已知，則△ABC一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．銳角三角形　　　　 B．直角三角形　　　　 C．鈍角三角形　　　　 D．等腰直角三角形

正確答案：選B

變式4：四邊形中，　

(1)若，試求與滿足的關(guān)系式；

(2)滿足(1)的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。

解：　

(1)　　 則有

　　 化簡得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)

　　

又　 則

化簡有：　　　　　　　　　　　

聯(lián)立

解得　 或　　　　　　　　　　　　　　　

　　則四邊形為對角線互相垂直的梯形

當(dāng)　 　

　此時(shí)

當(dāng)　 　

此時(shí)　　　　　　　　　　　　　

(人教版第121頁 例1)

題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍

變式1：如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，

　 求證：PA²+PB²+PC²+PD²=8r².

　　 證明：　，　　

，

　　　　 　，

　，

　　 以上各式相加可證．

變式2：已知△ABC中，，若，求證：△ABC為正三角形.

　 證明：，　 ∴，　 又∵，　 ，

故　， 知a=b，　 同理可知b=c ，　 故a=b=c ， 得證．

變式3：已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證.

[證明] ∵E是對角線AC與BD的交點(diǎn)，∴.

在△OAC中，，

同理有.

四式相加可得：.

變式4：四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，

求證：

[證法一] ∵E、F分別為DA、BC的中點(diǎn).

∴

又∵=0①

=0②

①+②，得2=0

∴2

∴

[證法二] 連結(jié)EC，EB

∵，①

②

①+②,得2+0=，

∴

又∵③

④

③+④,得

又∵=0，

∴.