新高考來了,盡管大家對新高考有這樣那樣的看法,但是我們還是必須面對它,研究它.為了讓學(xué)生知道新高考考什么,對于教師來說,必須研究新高考的指導(dǎo)思想是什么?研究課程改革的理念, 研究新高考與課程改革的關(guān)系,研究新高考與原高考的區(qū)別等等,從而明確新高考考什么.
高考的方式,高考的內(nèi)容可以變, 但是用數(shù)學(xué)的思想,數(shù)學(xué)的方法去培養(yǎng)學(xué)生的能力這一數(shù)學(xué)教育目的沒有變, 因此,在數(shù)學(xué)高考的復(fù)習(xí)中, 用數(shù)學(xué)的思想,數(shù)學(xué)的方法去提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力還是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本方法,基本指導(dǎo)思想.
解題必須有思想的指導(dǎo),也就是說,數(shù)學(xué)解題的基本方法是具有思想性的. 數(shù)學(xué)的思想是數(shù)學(xué)基本方法的靈魂.
在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,有意識地揭示這些數(shù)學(xué)基本方法中所隱含的數(shù)學(xué)思想, 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中形成一些數(shù)學(xué)的觀點;在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成、完善過程中,有意識地用數(shù)學(xué)的觀點去觀察、分析數(shù)學(xué)問題,不斷地獲取、積累、深化這些數(shù)學(xué)的觀點,使這些數(shù)學(xué)的觀點能夠在數(shù)學(xué)思維中升華為數(shù)學(xué)意識,從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數(shù)學(xué)能力,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法之一,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.
例1.已知 , ,求 的值.
分析(1) ,,在公式
中是聯(lián)系在一起的,由此,我們可以下面的解法.
解法(1) ∵ ,
∴ ===8.
分析(2) 顯然由和要分別解出的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變元,從而得的值,也就是說,消元就是解這個問題的指導(dǎo)思想,而且, 消元在代數(shù)式的求值中具有一般的指導(dǎo)意義.
解法(2) ∵ , ,
∴ , ,
∴ =
=
=
=8.
例2. 設(shè),求證:.
證明方法(一):
=
= (1)
>
故成立.
證明方法(二)
==
∴ ==
故成立.
問題: ①表達(dá)式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關(guān)系?
例3.化簡:.
分析: 這是一個極容易的化簡題, 學(xué)生很可能盲目地獲得結(jié)果.我們要問: 解本題的指導(dǎo)思
想是什么?
先看下面兩個解法:
解法(一): 原式=
=
=
=
=1
解法(二): 原式=
=
=1
說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達(dá)形式與公式掛鉤不容易, 因此,這一種方法的
技巧性較強(qiáng).證明方法(二)的指導(dǎo)思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數(shù)名稱,② 減少角的表達(dá)形式.
由證明方法(二)的指導(dǎo)思想還可以獲得以下證明方法:
解法(三) 原式消元成只含的表達(dá)式而被化簡.
原式=
=
=1
解法(四) 原式消元成只含的表達(dá)式而被化簡.
原式=
=
=1
例4.已知圓,直線過定點A (1,0).
(1)若與圓相切,求的方程;
(2)若與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又與的交點為N,判斷是否為定值,若是,則求出定值;若不是,請說明理由.
(1) 解:①若直線的斜率不存在,即直線是,符合題意.
②若直線斜率存在,設(shè)直線為,即.
由題意知,圓心(3,4)到已知直線的距離等于半徑2,即: ,
解之得 .
所求直線方程是,?! ?
(2) 解法一:直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線方程為
由 得.
又直線CM與垂直,由 得.
∴
為定值.
故是定值,且為6.
解法二:直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線方程為.
由 得.
再由 得.
∴ 得.
以下同解法一.
解法三:用幾何法,
如圖所示,△AMC∽△ABN,則,可得,是定值.
說明: 顯然, 由于應(yīng)用了平面幾何知識, 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔.
例5. 雙曲線的離心率為,A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點,過點F的直線交雙曲線的右支于P、Q兩點,交y軸于R點,AP、AQ分別交右準(zhǔn)線于M、N兩點.
(1) 若,求直線的斜率;
(2) 證明:M、N兩點的縱坐標(biāo)之積為.
解: (1)解:設(shè),
∵ 雙曲線的離心率為, ∴ ,雙曲線方程為,
∵ , ∴,
∵ 直線為, ∴ ,
∵ 點Q是雙曲線上一點, ∴ ,整理得,
解得.
(2)證明:設(shè)由題設(shè)可知:直線的方程為 ,直線的方程為.
∴ ,
∴ ,
由得
∴ ,
,
∴ .(k不存在要作特殊處理)
例6. (揚州市2008屆高三第二次調(diào)研測試)
已知圓C:,直線,且直線與圓C交于,點滿足.
(1) 當(dāng)時,求的值;
(2) 若,求的取值范圍.
解:(1)當(dāng)時,點在圓上,故當(dāng)且僅當(dāng)直線過圓心時滿足,
∵ 圓心的坐標(biāo)為(1,1), ∴ .
設(shè),
由 消去可得,,
, ,
∵ , ∴ ,
∴ , ,
即 ,
∴ ,
方法(1) 對進(jìn)行整理,
方法(2) 對進(jìn)行整理,
令, 則函數(shù)的圖象與軸在上有公共點,若,則,故不可取.
故
∴ 或或
或或
顯然, 方法(1)和(2)不易求解.
方法(3) 由得,
① 令
()
∴ , , ,
,
∴ 2<, 解得,或
② 令 ,則
∴ 在上為單調(diào)減函數(shù),
∴
∵ =
∴ 2, 2, 解得,或
例7.蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2007年第二次模擬考試題(題20)
已知點都在橢圓()上,分別過兩個焦點,當(dāng)時,有成立.
(1)求此橢圓的離心率;
(2)設(shè),,當(dāng)點A在橢圓上運動時,
求證: 始終是定植.
分析: 本題是一個求值的問題. 在高中數(shù)學(xué)中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數(shù)表達(dá)式,對表達(dá)式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數(shù)表達(dá)式的方法有兩種:
(1) 解: 當(dāng)時,,
∴ , ,
∴ .
由橢圓的定義,得, ∴ ,
在直角三角形中,
∵ ,
∴ ∴ .
(2) 解:由可知,, 故橢圓的方程可化為,焦點為.
設(shè),,.
方法① .當(dāng)直線的斜率存在時,
方法(1)直線的方程為,代入橢圓方程,得
,
∴ , ,
∵ , ∴ , ,
同理可得, ,
∴ +,
∴ .
方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得
-,
.
∵ ,
∴ , , ,
∴ ,
同理可得, ,
∴ +=.
.當(dāng)直線的斜率不存在時,,
.
綜上所述, 是定值.
方法② ∵ ,, ∴ ,,
∴
∴ 兩式相減可得, , (∵
,
.
同理可得, , ∴ .
.當(dāng)直線的斜率不存在時,, .
綜上所述, 是定值.
例8.(宿遷市2007屆高三年級第四次考試)21題
由原點O向曲線引切線,切點異于點O,再由點引此曲線的切線,切點異于點,如此繼續(xù)下去,得到點列.
(1) 求;
(2) 求證數(shù)列為等比數(shù)列.
(1) ∵, ∴
∴ 過原點O, 切點為的切線方程為,
∴ 消去得,
∵ ∴ .
(2) 證明: 設(shè)過點的直線與曲線切于點,
則切線方程為
∴
∵ ,
∴
∴ ,
∵, ∴ ,
∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
例1. 已知等比數(shù)列{}的各項為正數(shù), 數(shù)列{ }滿足 (>0且1), =18, =12.
(1) 求數(shù)列{}的通項公式;
(2) 試判斷是否存在正整數(shù),使得當(dāng)>時, >1恒成立,并說明理由; (0<<1)
(3) 當(dāng)>12時,
求證:+ ++...+<.
解:(1)∵ 數(shù)列{}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,∴ 當(dāng)2時,=- = 為常數(shù),
∴ 數(shù)列{}為等差數(shù)列。
∵ =18, =12, ∴=-2+24 .
(2) 由(1)知, =-n+12.
① 若01,則當(dāng)12時, 1;當(dāng)=12時, =1;當(dāng)12時, 1,故當(dāng)01時,存在=12,當(dāng)12時, 1.
② 若1,則當(dāng)12時, 1;當(dāng)=12時, =1;當(dāng)12時, 1,故當(dāng)01時,不存在,當(dāng)時, 1.
(3) 方法(一)
當(dāng)14時
+ ++...+
=]
<
=[+]
=[][]= .
=
==
=<
當(dāng)=13時,
+ ++...+=
<=
==
綜上所述, 當(dāng)13時, + ++...+<.
方法(二)
設(shè)=+ ++...+,則= +++...+
∴-=+-=
<=
<0 .
∴< , 即{ }單調(diào)遞減,
∴<.
例2. 已知數(shù)列滿足: .
(1) 證明: 數(shù)列成等比數(shù)列;
(2) 證明: .
(1) 證明: ∵ ,
∴ ,
∵ ∴ 數(shù)列 是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列.
(2) 證明方法①: 由(1)可知,
∴ ,
解得: .
證明方法②:由(1)可知,
< < <
∴
=
=<
直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個基本圖形在已知平面內(nèi)給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明.
證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個與已知平面相交的平面而得到,而這個平面可以經(jīng)過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經(jīng)過過已知直線上兩點且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題)
例3.四棱錐的底面是平行四邊形, 點在棱SA上,點在BD上,且
, 求證: ∥平面.
例4.正三棱柱中,E為AC的中點.求證: ‖平面.
分析: 先利用圖形(1)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
本例中與直線、平面都相交的直線有、、、.
① 與確定平面,
顯然點是平面與平面的一個公共點,
延長、相交于點F,連結(jié)BF,則直線BF就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線,只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
② 與確定平面,
顯然點E是平面與平面的一個公共點,
連結(jié),設(shè)直線與直線的交點為G, 連結(jié)EG,則直線EG就是平面與平面的交線,只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
③ 與確定平面,顯然點是平面與平面的一個公共點,因此,這時的證明方法與①相同.
④ 與確定平面,
顯然點是平面與平面的一個公共點,延長到,使,連結(jié),則就是平面與平面的交線,只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
下面再利用圖形(2)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
① 直線AC是過點A且與平面相交于點E的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AC平行、與平面相交的另一條直線.
在平面內(nèi)過點作‖,過點作,連結(jié) ,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線,且直線‖,就可得‖平面.
② 直線AB是過點A且與平面相交于點B的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AB平行、與平面相交的另一條直線.
在平面內(nèi)延長到T,使=,連結(jié)、,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線,且直線‖,就可得‖平面.
本例也可以利用面面平行的性質(zhì)證明‖平面.
取的中點F, 連結(jié)AF、B1F,證明平面‖平面,就可得‖平面.
本例也可以用基底向量法給出證明.
證明: 取為一組基底.
,, =,
設(shè)= , 則=()
=
∴ ∴ , , ∴ =-+ ,
∴‖平面.
例1.求函數(shù)在上的最小值為-2,求實數(shù)的取值 .
例2.已知函數(shù)的最小值是,求實數(shù)的取值 .
解:若,則函數(shù)的定義域為[0,+),且為增函數(shù),故,得;
若,則函數(shù)的定義域為[-a,+),且為增函數(shù),故,得,
∴ .
例3. (鹽城市2008屆高三第一次調(diào)研卷)題12
已知函數(shù)在的最大值為,求實數(shù)的取值 .
例4. (蘇州市2008屆高三第一次調(diào)研測試)題19
某商店經(jīng)銷一種奧運會紀(jì)念品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且沒賣一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交(為常數(shù),)元的稅收.設(shè)每件產(chǎn)品的日銷售價為元,根據(jù)市場調(diào)查, 日銷售量與為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例.已知每件產(chǎn)品的日銷售價為40元時, 日銷售量為10件.
(1) 求該商店的日利潤元與每件產(chǎn)品的日銷售價元的函數(shù)關(guān)系式;
(2) 當(dāng)沒件產(chǎn)品的日銷售價為多少時, 該商店的日利潤最大,并求出的最大值.
解: (1) = ;
(2) =
∵ , ∴
① 若,則, (當(dāng)且僅當(dāng)是
取等于號),
這時,函數(shù)在上為減函數(shù), 的最大值為,即10;
② 若,則,當(dāng)時, ,當(dāng)
時, ,
這時, 函數(shù)在上為增函數(shù), 在上為減函數(shù),故函數(shù)的最大值為,即
∴
例5.求函數(shù)的最小值.
例6.設(shè)a為實數(shù), 函數(shù).
(1) 討論函數(shù)的奇偶性; (2) 求的最小值.
解(1): 若函數(shù)為奇函數(shù),
則+=0,即()+(,這是不可能的,故函數(shù)不可能為奇函數(shù).
若函數(shù)為偶函數(shù),
則-=0,即()-(,
∴ 等式對任意都成立, 故,即時函數(shù)為偶函數(shù).
(2) 函數(shù)可以化為
方法(一) (整體求解)
① 若,則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為.
② 若,則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為.
③ 若,則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為.
方法(二) (分段討論)
① 當(dāng)時, ,
若 ,則函數(shù)在是減函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
,
若,則函數(shù)的最小值為.
② 當(dāng)時, ,
若 ,則函數(shù)的最小值為.
若,則函數(shù)在是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
,
∴ 若,則函數(shù)的最小值為;
若,則函數(shù)的最小值為;
若,則函數(shù)的最小值為.
例7.求使關(guān)于的不等式在恒成立的實數(shù)的取值范圍.
例8.若不等式對任意的正整數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 .
例9.已知二次函數(shù),對于,成立,試求實數(shù)的取值范圍.
解: 由題設(shè)可知, ,
① 若, 則;
② 若, 則,
∴ , , .
例10. (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題20
已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,它的前項和為,.
(1) 求公差的值;
(2) 若,求數(shù)列中的最大項和最小的項;
(3) 若對任意的,都有成立,求的取值范圍.
解:(1)∵ ∴ ,解得,.
(2) 若,則,
∴ =
∴ 當(dāng)時,取最大值3, 當(dāng)3時,取最大值-1.
(3) =1+,
∵ , ∴ 1+ 1+, ,
方法①:
若,則,,∴ ;
若,則
若,則,.
綜上所述, .
方法②:考慮函數(shù)
由此可知, , ∴ .
例11. (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題18
某建筑的金屬支架如圖所示,根據(jù)要求至少長2.8,為的中點,到的距離比的長小0.5,.已知金屬支架每米的價格一定,問怎樣設(shè)計,的長, 可使建造這個支架的成本最低?
解:設(shè)則,
由題設(shè)可知,在中,.
設(shè),
方法①:則由知,,
∴
=
(當(dāng)且僅當(dāng)即時等于號成立)
=7
這時,即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法②:.
,
則,
, , ,
∵ , ∴ .
當(dāng)時, , 即, , ,
,故7為的最小值. 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法③:.
,
則,
令,則函數(shù)的圖象與軸在上有公共點.
∴ 或 解得,或,即.
當(dāng)時, ,, 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.