1.有同寢室的四位同學(xué)分別寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人去拿一張,設(shè)自己拿到自己寫的賀卡的人數(shù)為,①求的概率分布;②求的數(shù)學(xué)期望與方差.
2.有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片,在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2?,F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張,讀出其標(biāo)號,然后把這張卡片放回去,再抽一張,其標(biāo)號為,記.(1)求的分布列;(2)求和.
3.甲與乙兩人擲硬幣,甲用一枚硬幣擲3次,記正面朝上的次為ξ;乙用這枚硬幣擲2次,記正面朝上的次為η.
(1)分別求ξ和η的期望;
(2)規(guī)定;若ξ>η,則甲獲勝,若ξ<η,則乙獲勝,分別求出甲和乙獲勝的概率.
4.甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題,已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92.
(1)求該題被乙獨(dú)立解出的概率;
(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.
5.口袋里裝有大小相同的卡片八張,其中三張標(biāo)有數(shù)字1,三張標(biāo)有數(shù)字2,二張標(biāo)有數(shù)字3,第一次從口袋里任里任意抽取一張,放回口袋里后第二次再任意抽取一張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.
(Ⅰ)為何值時,其發(fā)生的概率最大?說明理由;
(Ⅱ)求隨機(jī)變量的期望E.
6.A有一只放有x個紅球,y個白球,z個黃球的箱子(x、y、z≥0,
且),B有一只放有3個紅球,2個白球,1個黃球的箱子,兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色,規(guī)定同色時為A勝,異色時為B勝.
(1)用x、y、z表示B勝的概率;
(2)當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時,才能使自己獲勝的概率最大?
7.某中學(xué)有5名體育類考生要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測試,學(xué)校指派一名教師帶隊(duì),已知每位考生測試合格的概率都是,
(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位,求體育教師不坐后排的概率;
(2)若5人中恰有r人合格的概率為,求r的值;
(3)記測試合格的人數(shù)為,求的期望和方差.
8.袋中有1個白球和4個黑球,每次從其中任取一個球,直到取到白球?yàn)橹?
(Ⅰ)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時,求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差;
(Ⅱ)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時,求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差.
9.從分別寫有的九張卡片中,任意抽取兩張,計(jì)算:
(Ⅰ)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率;
(Ⅱ)當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時,就說這次試驗(yàn)成功,求在15次試驗(yàn)中成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
10.甲、乙兩人參加一次英語口語考試,已知在備選的10道試題中,甲能答對其中6題,乙能答對其中的8題,規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試,至少答對2題才算合格。
(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望,
(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.
11.學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會一項(xiàng),已知會唱歌的有2人,會跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù),且.(I) 求文娛隊(duì)的人數(shù);(II) 寫出的概率分布列并計(jì)算.
12.某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練,每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次,現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí),否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動員甲的投籃命中率為0.7.
(1) 求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字);
(2) 求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲至少投籃3次的概率.
13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,甲射擊一次命中10環(huán)的概率為,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,若他們各自獨(dú)立地射擊兩次,設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ,且ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=,表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.
(1)求s的值及的分布列, (2)求的數(shù)學(xué)期望.
概率解答題練習(xí)
1.有同寢室的四位同學(xué)分別寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人去拿一張,設(shè)自己拿到自己寫的賀卡的人數(shù)為,①求的概率分布;②求的數(shù)學(xué)期望與方差.
1.解:(1)分布列
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
(2).
2.有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片,在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2?,F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張,讀出其標(biāo)號,然后把這張卡片放回去,再抽一張,其標(biāo)號為,記。(1)求的分布列;(2)求和。
解:(1)可能取的值為0、1、2、4?! ?……(2分)
且,,, ……(6分)
所求的分布列為:
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
……(8分)
(2)由(1)可知, ……(11分)
……(14分)
3.(本題滿分14分)甲與乙兩人擲硬幣,甲用一枚硬幣擲3次,記正面朝上的次為ξ;乙用這枚硬幣擲2次,記正面朝上的次為η.
(1)分別求ξ和η的期望;
(2)規(guī)定;若ξ>η,則甲獲勝,若ξ<η,則乙獲勝,分別求出甲和乙獲勝的概率.
解ξ的可能取值為0,1,2,3則ξ的分布列為
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
則Eξ
η的可能取值為0,1,2則η的分布列為
η |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
則Eη=
所以ξ、η的數(shù)學(xué)期望分別為、1
(2)P(ξ>η)=
P(ξ<η)=
所以甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為。
4.甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題,已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92.
(1)求該題被乙獨(dú)立解出的概率;
(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.
解:(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.
設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1,乙為P2.(2分)
則P(A)=P1=0.6,P(B)=P2
|
0 |
1 |
2 |
P |
0.08 |
0.44 |
0.48 |
5.口袋里裝有大小相同的卡片八張,其中三張標(biāo)有數(shù)字1,三張標(biāo)有數(shù)字2,二張標(biāo)有數(shù)字3,第一次從口袋里任里任意抽取一張,放回口袋里后第二次再任意抽取一張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.
(Ⅰ)為何值時,其發(fā)生的概率最大?說明理由;
(Ⅱ)求隨機(jī)變量的期望E。
解(I)依題意,隨機(jī)變量的取值是2、3、4、5、6…………2分
因?yàn)镻(=2)=;P(=3)=
P(=4)=;P(=5)=;
P(=6)=;…………7分
所以,當(dāng)=4時,其發(fā)生的概率P(=4)=最大…………8分
(Ⅱ)E=………………12分
6.(本小題滿分12分)A有一只放有x個紅球,y個白球,z個黃球的箱子(x、y、z≥0,
且),B有一只放有3個紅球,2個白球,1個黃球的箱子,兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色,規(guī)定同色時為A勝,異色時為B勝.
(1)用x、y、z表示B勝的概率;
(2)當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時,才能使自己獲勝的概率最大?
解:(1)顯然A勝與B勝為對立事件,A勝分為三個基本事件:
①A1:“A、B均取紅球”;②A2:“A、B均取白球”;③A3:“A、B均取黃球”.
(2)由(1)知,
于是,即A在箱中只放6
個紅球時,獲勝概率最大,其值為
7.某中學(xué)有5名體育類考生要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測試,學(xué)校指派一名教師帶隊(duì),已知每位考生測試合格的概率都是,
(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位,求體育教師不坐后排的概率;
(2)若5人中恰有r人合格的概率為,求r的值;
(3)記測試合格的人數(shù)為,求的期望和方差。
解:(1)體育教師不坐后排記為事件A,則。
(2)每位考生測試合格的概率,測試不合格的概率為
則,即,
∴,
(3)∵-
∴
8.袋中有1個白球和4個黑球,每次從其中任取一個球,直到取到白球?yàn)橹?
(Ⅰ)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時,求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差;
(Ⅱ)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時,求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。
解(Ⅰ)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時,設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù),因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕?,所?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384177_1/image008.gif">的可能取值為1,2,3,4,5,易知
,
,
故隨機(jī)變量的概率分布列為:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
|
|
|
|
|
…………….6分
(Ⅱ)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時,設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù),因?yàn)槊看稳〕龅暮谇蛉苑呕厝ィ?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384177_1/image082.gif">的可能取值是一切正整數(shù),
所求概率分布為
|
1 |
2 |
3 |
… |
n |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
9.從分別寫有的九張卡片中,任意抽取兩張,計(jì)算:
(Ⅰ)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率;
(Ⅱ)當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時,就說這次試驗(yàn)成功,求在15次試驗(yàn)中
成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
(Ⅰ);
(Ⅱ)一次試驗(yàn)成功的概率為,從而,故
。
10.甲、乙兩人參加一次英語口語考試,已知在備選的10道試題中,甲能答對其中6題,乙能答對其中的8題,規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試,至少答對2題才算合格。
(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。
(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。
解:(Ⅰ)依題意,甲答對試題數(shù)的概率分布如下:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
…………4分
甲答對試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望:
……………………………………4分
(Ⅱ)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為
則
…………………理9分(文6分)
甲、乙兩人考試均不合格的概率為:
∴甲、乙兩人至少一個合格的概率為………理文均12分
11.學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會一項(xiàng),已知會唱歌的有2人,會跳舞的有5人,現(xiàn)從中選2人.設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù),且.
(I) 求文娛隊(duì)的人數(shù);
(II) 寫出的概率分布列并計(jì)算.
解:設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊(duì)中共有(7-x)人,那么只會一項(xiàng)的人數(shù)是
(7-2 x)人.
(I)∵,
∴.……………………………………3分
即.
∴.
∴x=2. ……………………………………5分
故文娛隊(duì)共有5人.……………………………………7分
(II) 的概率分布列為
|
0 |
1 |
2 |
P |
|
|
|
,……………………………………9分
,……………………………………11分
∴ =1. …………………………13分
12.某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練,每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次,現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí),否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動員甲的投籃命中率為0.7.
(3) 求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字);
(4) 求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲至少投籃3次的概率.
解:(1)ξ的可能取值為1,2,3,4,
ξ=1時,P(ξ=1)=0.7
ξ=2時,P(ξ=2)=0.7(1-0.7)=0.21;
ξ=3時,P(ξ=3)=0.7(1-0.7)2=0.063
ξ=4時,P(ξ=4)=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.
∴ξ的分布為
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0.7 |
0.21 |
0.063 |
0.027 |
∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4
(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09
13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,甲射擊一次命中10環(huán)的概率為,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,若他們各自獨(dú)立地射擊兩次,設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ,且ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=,表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.
(1)求s的值及的分布列,
(2)求的數(shù)學(xué)期望.
解:(1)依題意知ξ∽B(2,s),故Eξ=2s=,
∴s=. …………2分
的取值可以是0,1,2.
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是,
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是,
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是,
∴(=0)=. …………6分
甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是,
甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是.
∴(=2)==,
∴(=1)=1(=0)(=2)=. ………10分
故的分布列是
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
………12分
(2)E=. …………14分