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8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題
變式1: 解:(I) 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R,即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集為 R,
∴應(yīng)有 Þ a > 1,
∴ 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) .
(II) 函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R,即a x 2 + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值.
1° 當(dāng) a = 0 時(shí),a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求;
2° 當(dāng) a ≠ 0 時(shí),應(yīng)有 Þ 0 < a≤1.
∴ 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是[0,1] .
變式2: 解法一:(轉(zhuǎn)化為最值)
在上恒成立,即在上恒成立.
⑴, ;
⑵,.
綜上所述.
解法二:(運(yùn)用根的分布)
⑴當(dāng),即時(shí),應(yīng)有, 即,不存在;
⑵當(dāng),即時(shí),應(yīng)有,
即,;
⑶當(dāng),即時(shí),應(yīng)有,即 ,
綜上所述.
變式3: 證明:(I) 依題意,f (sin ) = f (1)≥0,f (2 + cos p) = f (1)≤0,
∴ f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = -1,
(II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2-(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0
Þ (1 + cos b ) [c-(2 + cos b )]≥0,對(duì)任意 b 成立.
∵ 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ,
∴ c≥(2 + cos b )max = 3.
(III) 由 (*) 得:f (sin a ) = sin 2a-(c + 1) sin a + c,
設(shè) t = sin a ,則g(t) = f (sin a ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1,
這是一開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為 t = ,
由 (II) 知:t≥= 2,
∴ g(t) 在 [-1,1] 上為減函數(shù).
∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8,
∴ c = 3
∴ b = -c-1 = -4.
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