題型1:指數(shù)運(yùn)算
例1.(1)計(jì)算:;
(2)化簡(jiǎn):。
解:(1)原式=
;
(2)原式=
。
點(diǎn)評(píng):根式的化簡(jiǎn)求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解,對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果,一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留;一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí),化負(fù)指數(shù)為正指數(shù),化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算,同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。
例2.已知,求的值。
解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴。
點(diǎn)評(píng):本題直接代入條件求解繁瑣,故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形,創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。
題型2:對(duì)數(shù)運(yùn)算
例3.計(jì)算
(1);(2);
(3)。
解:(1)原式
;
(2)原式
;
(3)分子=;
分母=;
原式=。
點(diǎn)評(píng):這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題,雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高,但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功,通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則,以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。
例4.設(shè)、、為正數(shù),且滿足
(1)求證:;
(2)若,,求、、的值。
證明:(1)左邊
;
解:(2)由得,
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得,代入得,
∵,
∴………………………………④
由③、④解得,,從而。
點(diǎn)評(píng):對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問題,還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主,將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見形式再來處理即可。
題型3:指數(shù)、對(duì)數(shù)方程
例5.設(shè)關(guān)于的方程R),
(1)若方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí),討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù),并求出方程的解。
解:(1)原方程為,
,
時(shí)方程有實(shí)數(shù)解;
(2)①當(dāng)時(shí),,∴方程有唯一解;
②當(dāng)時(shí),.
的解為;
令
的解為;
綜合①、②,得
1)當(dāng)時(shí)原方程有兩解:;
2)當(dāng)時(shí),原方程有唯一解;
3)當(dāng)時(shí),原方程無解。
點(diǎn)評(píng):具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問題,問題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力,這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的特點(diǎn),題型非常廣泛,應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。
例6.(2006遼寧 文13)方程的解為
。
解:考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。原方程變形為,即,得。且有。從而結(jié)果為。
點(diǎn)評(píng):上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式,解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式,再來求解。
題型4:指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例7.設(shè)( )
A.0
B.1 C.2
D.3
解:C;,。
點(diǎn)評(píng):利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,求解函數(shù)的值。
例8.已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。
解:令,則x=,t∈R。
所以即,(x∈R)。
因?yàn)閒(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故只需討論f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性。
任取,,且使,則
(1)當(dāng)a>1時(shí),由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上單調(diào)遞增。
(2)當(dāng)0<a<1時(shí),由,有,,所以,即f(x)在[0,+∞]上單調(diào)遞增。
綜合所述,[0,+∞]是f(x)的單調(diào)增區(qū)間,(-∞,0)是f(x)的單調(diào)區(qū)間。
點(diǎn)評(píng):求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域,甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分兩種情況來處理。
題型5:指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用
例9.若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A.m≤-1
B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1
解:,
畫圖象可知-1≤m<0。
答案為B。
點(diǎn)評(píng):本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征,解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。
例10.設(shè)函數(shù)的取值范圍。
解:由于是增函數(shù),等價(jià)于 ?、?
1)當(dāng)時(shí),,①式恒成立;
2)當(dāng)時(shí),,①式化為,即;
3)當(dāng)時(shí),,①式無解;
綜上的取值范圍是。
點(diǎn)評(píng):處理含有指數(shù)式的不等式問題,借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題(一元一次、一元二次不等式)來處理。
題型6:對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例11.(1)函數(shù)的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2006湖北)設(shè)f(x)=,則的定義域?yàn)? )
A.
B.(-4,-1)(1,4)
C.(-2,-1)(1,2)
D.(-4,-2)(2,4)
解:(1)D(2)B。
點(diǎn)評(píng):求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍,在對(duì)數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時(shí)才有意義。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
例12.對(duì)于,
(1)函數(shù)的“定義域?yàn)镽”和“值域?yàn)镽”是否是一回事;
(2)結(jié)合“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義”與“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椤闭f明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別;
(3)結(jié)合(1)(2)兩問,說明實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)的值域?yàn)?
(4)實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在內(nèi)是增函數(shù)。
解:記,則;
(1)不一樣;
定義域?yàn)镽恒成立。
得:,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。
值域?yàn)镽:值域?yàn)镽至少取遍所有的正實(shí)數(shù),
則,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。
(2)實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義:
命題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立,
則或,
解得實(shí)數(shù)a得取值范圍為。
實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?
由已知得二次不等式的解集為可得,則a=2。故a的取值范圍為{2}。
區(qū)別:“有意義問題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問題”來處理,而“定義域問題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問題”來解決(這里轉(zhuǎn)化成了解集問題,即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值)
(3)易知得值域是,又得值域是,
得,故a得取值范圍為{-1,1}。
(4)命題等價(jià)于在上為減函數(shù),且對(duì)任意的恒成立,則,解得a得取值范圍為。
點(diǎn)評(píng):該題主要考察復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。解題過程中遇到了恒成立問題,“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價(jià),同時(shí)又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況,解題過程中結(jié)合三個(gè)“二次”的重要結(jié)論來進(jìn)行處理。
題型7:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用
例13.當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax和y=(1-a)x的圖象只可能是( )
解:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選,
又a>1時(shí),y=(1-a)x為減函數(shù)。
答案:B
點(diǎn)評(píng):要正確識(shí)別函數(shù)圖像,一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像,二是把握?qǐng)D像的性質(zhì),根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷,如過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。
例14.設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D。
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解:(1)易知D為線段AB的中點(diǎn), 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)),
所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2 )。
(2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2,
其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。
由S△ABC= log2>1, 得0< a<2-2。
點(diǎn)評(píng):解題過程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì),注意底數(shù)分類來處理,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。
題型8:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問題
例15.在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上,且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。
(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式;
(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,求a的取值范圍;
(3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),問數(shù)列{Cn}前多少項(xiàng)的和最大?試說明理由。
解:(1)由題意知:an=n+,∴bn=2000()。
(2)∵函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減,
∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。
則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,
即()2+()-1>0,
解得a<-5(1+)或a>5(-1)。
∴5(-1)<a<10。
(3)∵5(-1)<a<10,∴a=7
∴bn=2000()。數(shù)列{bn}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列,
對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn-1。
于是當(dāng)bn≥1時(shí),Bn<Bn-1,當(dāng)bn<1時(shí),Bn≤Bn-1,
因此數(shù)列{Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1,
由bn=2000()≥1得:n≤20。
∴n=20。
點(diǎn)評(píng):本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性,最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí),以及三角形的面積解決了實(shí)際問題。
例16.已知函數(shù)為常數(shù))
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若a=2,試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
(3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),求a的取值范圍。
解:(1)由
∵a>0,x≥0
∴f(x)的定義域是。
(2)若a=2,則
設(shè) , 則
故f(x)為增函數(shù)。
(3)設(shè)
①
∵f(x)是增函數(shù),
∴f(x1)>f(x2)
即 ②
聯(lián)立①、②知a>1,
∴a∈(1,+∞)。
點(diǎn)評(píng):該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問題,我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn),結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路,對(duì)“路”處理即可。
題型9:課標(biāo)創(chuàng)新題
例17.對(duì)于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果對(duì)任意的,均有,則稱f(x)與g(x)在上是接近的,否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的,現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與,給定區(qū)間。
(1)若與在給定區(qū)間上都有意義,求a的取值范圍;
(2)討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。
解:(1)兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義,因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù),
故有意義當(dāng)且僅當(dāng);
(2)構(gòu)造函數(shù),
對(duì)于函數(shù)來講,
顯然其在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。
且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。
由于,得
所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,只需保證
當(dāng)時(shí),與在區(qū)間上是接近的;
當(dāng)時(shí),與在區(qū)間上是非接近的。
點(diǎn)評(píng):該題屬于信息給予的題目,考生首先理解“接近”與“非接近”的含義,再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究,轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問題,解不等式即可。
例18.設(shè),,且,求的最小值。
解:令
,
∵,,∴。
由得,∴,
∴,∵,∴,即,∴,
∴,
∵,∴當(dāng)時(shí),。
點(diǎn)評(píng):對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問題,這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。