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4.在等比數(shù)列()中,若,,則該數(shù)列的前10項和為( )
A. B. C. D.
高考數(shù)學(xué)招生適應(yīng)性考試試卷
數(shù)學(xué)(文史類)參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在橫線上.
11.
12.
13.3
14.(1)(2)
15.,
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.解:
.
(I)函數(shù)的最小正周期是;
(II)當(dāng),即()時,函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
17.解:任選1名下崗人員,記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件,“該人參加過計算機培訓(xùn)”為事件,由題設(shè)知,事件與相互獨立,且,.
(I)解法一:任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過一項培訓(xùn)的概率是
該人參加過兩項培訓(xùn)的概率是.
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
(II)解法一:任選3名下崗人員,3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是
.
3人都參加過培訓(xùn)的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是.
解法二:任選3名下崗人員,3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是
.
3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是.
18.解:(I)在平面內(nèi)過點作于點,連結(jié).
因為,,所以,
又因為,所以.
而,所以,,從而,又,
所以平面.因為平面,故.
(II)解法一:由(I)知,,又,,,所以.
過點作于點,連結(jié),由三垂線定理知,.
故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,則,
不妨設(shè),則,.
在中,,所以,
于是在中,.
故二面角的大小為.
解法二:由(I)知,,,,故可以為原點,分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
因為,所以是和平面所成的角,則.
不妨設(shè),則,.
在中,,
所以.
則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是
,,,.
所以,.
設(shè)是平面的一個法向量,由得
取,得.
易知是平面的一個法向量.
設(shè)二面角的平面角為,由圖可知,.
所以.
故二面角的大小為.
19.解:由條件知,設(shè),.
(I)當(dāng)與軸垂直時,可設(shè)點的坐標(biāo)分別為,,
此時.
當(dāng)不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個實根,所以,,
于是
.
綜上所述,為常數(shù).
(II)解法一:設(shè),則,,
,,由得:
即
于是的中點坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時,,即.
又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當(dāng)與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
所以點的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時,由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時,,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時,點的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
故點的軌跡方程是.
20.解:(I)當(dāng)時,由已知得.
因為,所以. …………………………①
于是. …………………………………………………②
由②-①得:.……………………………………………③
于是.……………………………………………………④
由④-③得:.…………………………………………………⑤
即數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.
由③有,所以,
而⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項,6為公差的等差數(shù)列.
所以,,.
由題設(shè)知,.當(dāng)為奇數(shù)時,為奇數(shù),而為偶數(shù),所以不是數(shù)列中的項,只可能是數(shù)列中的項.
若是數(shù)列中的第項,由得,取,得,此時,由,得,,從而是數(shù)列中的第項.
(注:考生取滿足,的任一奇數(shù),說明是數(shù)列中的第項即可)
21.解:(I)因為函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)分別有一個極值點,所以在,內(nèi)分別有一個實根,
設(shè)兩實根為(),則,且.于是
,,且當(dāng),即,時等號成立.故的最大值是16.
(II)解法一:由知在點處的切線的方程是
,即,
因為切線在點處空過的圖象,
所以在兩邊附近的函數(shù)值異號,則
不是的極值點.
而,且
.
若,則和都是的極值點.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因為切線在點處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函數(shù)值異號,于是存在().
當(dāng)時,,當(dāng)時,;
或當(dāng)時,,當(dāng)時,.
設(shè),則
當(dāng)時,,當(dāng)時,;
或當(dāng)時,,當(dāng)時,.
由知是的一個極值點,則,
所以,又由,得,故.