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20.(本題滿分14分,第(1)題7分,第(2)題7分)
兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體,可放于棱長(zhǎng)為的正方體中,重合的底面與正方體的某一個(gè)面平行,各頂點(diǎn)均在正方體的表面上,把滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”.
(1)若正子體的六個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體各面的中心,求此正子體的體積;
(2)在(1)的條件下,求異面直線與所成的角.
[解]
[解]
參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(文科)
一、填空題
1. 2.1 3. 4. 5.2 6.5 7.13
8. 9.3 10.2 11. 12.③④①②或①④②③
二、選擇題
13.B 14.A 15.D 16.A
三、解答題
17.解:由得:,所以,--------------4分
, ------------------------------------------5分
---------------------------------------------7分
,----------------8分
------------------10分 或 ------------------------12分
18.解:(1),得:,-------------------------3分
由,
,得到 ---------------------------------------------6分
(2),,------9分
,得,所以正整數(shù)的最小值為。---------------12分
19.解:(1)
,得-------------------------------------4分
又,所以景區(qū)游客人數(shù)的范圍是1000至1300人-------------6分
(2)設(shè)游客的人均消費(fèi)額為,則
---------------------12分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。---------------------------------------------------------14分
答:當(dāng)景區(qū)游客的人數(shù)為時(shí),游客的人均消費(fèi)最高,最高消費(fèi)額為元。
20.解:(1)因?yàn)檎芋w的各個(gè)頂點(diǎn)是正方體
各面的中心,所以
-------------------------------------2分
正四棱錐的底面積,高---------------------------------5分
正子體體積 ---------------------------------------------7分
(2)方法一:建立空間直角坐標(biāo)系,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)理科答案。
方法二:記正方體為,
記棱中點(diǎn)為,中點(diǎn)為----------------------------------------------------------8分
則,所以-------------------------------------------------10分
異面直線與所成的角即為------------------------------------------------11分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383938_1/image148.gif">,故=------------------------------------14分
異面直線與所成的角為。
21.解:(1)∵對(duì)任意,,∴--2分
∵不恒等于,∴--------------------------4分
(2)設(shè)
由 解得: ----------------------------------------------------6分
由 ,反函數(shù)為 ,-------8分
∵
∴--------------------------------------------------------------------11分
(3)∵,∴對(duì)一切定義域中恒成立。
,解得:恒成立,故----------13分
由,得到,,由, --14分
-------------15分,故的范圍為: 或 -------------16分
22.解:(1)把代入得。
令,得。 ---------------------------------------------------------------------------2分
設(shè),則 -------------------------------4分
∴, ∴直線的方程為y= -x+1。 ------------------------------------6分
(2)設(shè)D (1 , y0),代入y 2= 4x,得 因此得到D點(diǎn)坐標(biāo):D (1,2 ) 或D′(1,-2)
點(diǎn)D(D′)到直線y=-x+1的距離. ----------------------------------------8分
∴∆DAB的面積為。------------------------------------------------------------------------10分
(3)設(shè)與直線y=-x+1平行且與y2 = 4 x相切的直線為y=-x+t, 代入y 2 =4 x,
得,令∆=0,得,此時(shí)切點(diǎn)為。
另解:設(shè)與直線平行且距離為的直線為y=-x+t, 得或3------12分
與 y 2 = 4 x的交點(diǎn)僅有一個(gè)為 ,
y = - x +3與y 2 = 4 x的交點(diǎn)為 , 。
y=-x+1與y2=4x的交點(diǎn)為
∴當(dāng)時(shí), ---------------------------------------------------------14分
當(dāng)時(shí),
--------------------------------------------------------------------------------------16分
當(dāng)時(shí),。-------------------------------------18分
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