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(17)(本小題滿分12分)
在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
(18)(本小題滿分12分)
已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和4個黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的5個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.
(Ⅰ)求取出的4個球均為紅球的概率;
(Ⅱ)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率;
(19)(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面,
,,是的中點.
(Ⅰ)求和平面所成的角的大??;
(Ⅱ)證明平面;
(Ⅲ)求二面角的大?。?/p>
(20)(本小題滿分12分)
在數(shù)列中,,,.
(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)證明不等式,對任意皆成立.
(21)(本小題滿分14分)
設函數(shù)(),其中.
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求函數(shù)的極大值和極小值;
(Ⅲ)當時,證明存在,使得不等式對任意的恒成立.
(22)(本小題滿分14分)
設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點,,原點到直線的距離為.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求使得下述命題成立:設圓上任意點處的切線交橢圓于,兩點,則.
高中畢業(yè)班數(shù)學全國統(tǒng)一考試試題
參考答案
一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算.每小題5分,滿分50分.
(1)B (2)C (3)C (4)A (5)C
(6)D (7)D (8)B (9)A (10)A
二、填空題:本題考查基本知識和基本運算.每小題4分,滿分24分.
(11) (12) (13)
(14) (15) (16)
三、解答題
(17)本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識,考查基本運算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:在中,,由正弦定理,
.
所以.
(Ⅱ)解:因為,所以角為鈍角,從而角為銳角,于是
,
,
.
.
(18)本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識,考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為紅球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為紅球”為事件.由于事件相互獨立,且
,,
故取出的4個球均為紅球的概率是
.
(Ⅱ)解:設“從甲盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個紅球為黑球”為事件,“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件.由于事件互斥,且
,.
故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為
.
(19)本小題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎知識.考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:在四棱錐中,因底面,平面,故.
又,,從而平面.故在平面內(nèi)的射影為,從而為和平面所成的角.
在中,,故.
所以和平面所成的角的大小為.
(Ⅱ)證明:在四棱錐中,
因底面,平面,故.
由條件,,面.
又面,.
由,,可得.
是的中點,,
.綜上得平面.
(Ⅲ)解:過點作,垂足為,連結(jié).由(Ⅱ)知,平面,在平面內(nèi)的射影是,則.
因此是二面角的平面角.
由已知,可得.設,可得
,,,.
在中,,,則
.
在中,.
所以二面角的大小.
(20)本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體,主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎知識,考查運算能力和推理論證能力.滿分12分.
(Ⅰ)證明:由題設,得
,.
又,所以數(shù)列是首項為,且公比為的等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,于是數(shù)列的通項公式為
.
所以數(shù)列的前項和.
(Ⅲ)證明:對任意的,
.
所以不等式,對任意皆成立.
(21)本小題主要考查運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程,函數(shù)的極值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.
(Ⅰ)解:當時,,得,且
,.
所以,曲線在點處的切線方程是,整理得
.
(Ⅱ)解:
.
令,解得或.
由于,以下分兩種情況討論.
(1)若,當變化時,的正負如下表:
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因此,函數(shù)在處取得極小值,且
;
函數(shù)在處取得極大值,且
.
(2)若,當變化時,的正負如下表:
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因此,函數(shù)在處取得極小值,且
;
函數(shù)在處取得極大值,且
.
(Ⅲ)證明:由,得,當時,
,.
由(Ⅱ)知,在上是減函數(shù),要使,
只要
即
?、?/p>
設,則函數(shù)在上的最大值為.
要使①式恒成立,必須,即或.
所以,在區(qū)間上存在,使得對任意的恒成立.
(22)本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識,考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力.滿分14分.
(Ⅰ)證法一:由題設及,,不妨設點,其中
,由于點在橢圓上,有,
,
解得,從而得到,
直線的方程為,整理得
.
由題設,原點到直線的距離為,即
,
將代入原式并化簡得,即.
證法二:同證法一,得到點的坐標為,
過點作,垂足為,易知,故
由橢圓定義得,又,所以
,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:圓上的任意點處的切線方程為.
當時,圓上的任意點都在橢圓內(nèi),故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和,因此點,的坐標是方程組
的解.當時,由①式得
代入②式,得,即
,
于是,
.
若,則
.
所以,.由,得.在區(qū)間內(nèi)此方程的解為.
當時,必有,同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為.
另一方面,當時,可推出,從而.
綜上所述,使得所述命題成立.