參考答案

一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.每小題只有一項符合要求)

二.填空題(每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)

　　 13.　　　　　　　 14.①②③　 　　　　　　　15. 　　　　　　　　16.

三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　17.(本小題滿分12分)

　　　 設函數圖象的一條對稱軸是直線.

　　　 ⑴求； 　　　　　　　　　?、魄蠛瘮?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384048_1/image124.gif">的單調增區(qū)間；

　　　 ⑶畫出函數在區(qū)間上的圖象.

　 解：⑴∵是函數的圖像的對稱軸,∴,∴.

　　　　　　　　 .∵,∴.

　　　 ⑵由⑴知,由題意得,

　　　 ⑶由

　18.(本小題共12分) (文)某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不

　　　 合格”,兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概

　　　 率分別為；在實驗考核中合格的概率分別為,所有考核是否合格相互之間沒

有影響.

　　 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

　　 (Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率.(結果保留三位小數)

　　解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；

　　　 記為的對立事件,；記“甲實驗考核合格”為事件；“乙實驗考核合格”為事件；

　　　 “丙實驗考核合格”為事件.

　　 (Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件,記為的對立事件.

　 解法：

　　　　　　　　　　　 .

　 解法：

　　　　　　 . ∴理論考核中至少有兩人合格的概率為.

　(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格”為事件.

　　　　 .

　　　　 ∴這三人該課程考核都合格的概率為.

　　 (理)某城市有甲、乙、丙個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是,,,且

　　　　 客人是否游覽哪個景點互不影響,設表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點

　　　　 數之差的絕對值.

　　 (Ⅰ)求的分布及數學期望；

　　 (Ⅱ)記“函數在區(qū)間上單調遞增”為事件,求事件的概率.

　 解：(Ⅰ)分別記“客人游覽甲景點”,“客人游覽乙景點”,“客人游覽丙景點”為事件.

　　　 由已知相互獨立, ,,.客人游覽的景點數的可能取值

　　　 為.相應地,客人沒有游覽的景點數的可能取值為,∴的可能取值為1，3.

　　　 ∴的分布列為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

　　 (Ⅱ)的可能取值為.當時,函數在區(qū)間上單調遞增,

　　　　 當時,函數在區(qū)間上不單調遞增.∴.

　19.(本題滿分12分)(文)已知函數.

　　 (Ⅰ)求；　　　　 (Ⅱ)若,函數的圖象能否總在直線的下方?說明理由.

　　 (Ⅲ)若函數在上是增函數,是方程的一個根.求證：.

　 解：(文) (Ⅰ).

　　(Ⅱ)時,,令得.由于,,

　　 ∴函數的圖象不能總在直線的下方.

　 (Ⅲ)因函數在上是增函數,∴在區(qū)間上恒成立,即在

　　　 區(qū)間上恒成立,∴,又由得,而,

　　　 即.

　 (理)已知函數是定義在上的奇函數,當時,.

　 　　(Ⅰ)求的解析式；　　　 (Ⅱ)試確定函數的單調區(qū)間,并證明你的結論；

　 　　(Ⅲ)若,且,證明：.

　　(理)解：(Ⅰ)當時,.設,則,∴

　　　　　 ,∵是奇函數,∴,故.

　 (Ⅱ)設是區(qū)間上的任意兩個實數,且

　　　　　 則,當時,

　　　 　　,而及,∴,即在上

　　　　　 為減函數.同理,當,,即在上為增函數.

　　 (Ⅲ)∵,∴同號,先證明均為正數.∵在是增函數,由得

　　　　　　 ,又,∴,∴.

　　　　　　 ∵,∴.且,即,∴,

　　　　　　　 .

　　　　　　 若均為負數,,則.已知在上是增函數,

　　　　　　 ,又,∴

　　　　　　 ∴,,∴.

　20.(本小題共12分)已知斜三棱柱,,,在底面上

　　　 的射影恰為的中點,又知.

　　 (Ⅰ)求證：平面；　 　　　(Ⅱ)求到平面的距離；

　　　 (Ⅲ)求二面角的大小.

　　解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,又,∴平面,

　　　　　 得,又,∴平面.

　　 (Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,又為

　　　　　 中點,知∴.取中點,則平面,

　　　　　 從而面面,過作于,則面,

　　　　　　 　 在中,,故,即到

　　　　　 平面的距離為.

　　 (Ⅲ)過作于,連,則,從而

　　　　　 為二面角的平面角,在中,,

　　　　 ∴,在中,,故二面角的大小為.

　　 解法：(Ⅰ)如圖,取的中點,則,∵,∴,

　　　　 又平面,以為軸建立空間坐標系,

　　　　 則,,,,,,

　　　　 ,,由,知,

　　　　　 又,從而平面.

　　(Ⅱ)由,得.設平面的法向量

　　　　　　 為,,,,設,則.

　　　 ∴點到平面的距離.

　 (Ⅲ)設面的法向量為,,,∴.

　　　　　　 　 設,則,故,根據法向量的方向

　　　　　 可知二面角的大小為.

　21.(本小題滿分12分)設、分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等

　　 于焦距,且為它的右準線.

　　 ⑴求橢圓的方程；

　　 ⑵設為右準線上不同于點的任意一點,若直線、　

　　　　 分別與橢圓相交于異于、的點、,證明：點在以

　　　　 為直徑的圓內.

　　解：⑴依題意得,,解得,從而.故橢圓的方程為.

　?、平夥?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384048_1/image088.gif">：由⑴得,,.∵M點在橢圓上,∴　①.又點異于

　　　 點、,∴,由三點共線得.∴,,

　　　 ∴　 ②.將①代入②,化簡得.

　　 ∵,∴,則為銳角,∴為鈍角,故點在以為直徑的圓內.

　　 解法：由⑴得,,設.則,.又的中點

　　　 　　為,依題意,點到圓心的距離與半徑的差

　　　　　 ?、?又直線：,

　　　　　 直線：,而兩直線與的交點在準線上,∴,即

　　　　 ?、?又點M在橢圓上，則，即　⑤.于是將④、⑤

　　　　　 代入③,化簡后可得.從而,點在以為直徑的圓內.

　22.(本小題滿分14分)(文)已知數列滿足,且對一切,有,其中.

　　 (Ⅰ)求數列的通項公式；　　 　　　　　　　　　　(Ⅱ)求證：.

　　 解：(文)(Ⅰ)由　?、佟　?得　?、凇　　　　?②-①得

　　　　　 ,∵, ∴.

　　　 　　由,得,兩式相減,得.

　　　 　　∵,∴.當時易得,,,∴.

　　　 　　從而是等差數列,其首項為,公差,故.

　　 (Ⅱ).

　(理)已知數列中,,.

　　　　 ⑴求及通項；

　　　　 ⑵設數列滿足，求證：.

　 解：⑴,?、?； 　　②

　　　　　　　　 ①②得,即,,

　　　　　　　 ∴.∴.

　　　 ⑵由⑴得,,∴是單調遞增數列.

　　　　　 故要證,只需證.若,則顯然成立.

　　　　　 若,則.∴.

　　　　　 因此,, ∴,故.