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2.設(shè)全集為R,A={x|-1<x<1},B={ x| x≥0},則CR(A∪B)等于( )
A.{x|0≤x<1} B.{x| x≥0} C.{x|x≤-1} D.{x|x>-1}
數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
說明:
一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.
二、對計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分60分.
1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.D 9.A 10.D 11.D 12.A
二、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分。滿分16分.
13.15;14.;15.;16.
三、解答題:本大題共6小題,共74分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.本小題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、和角公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查理解能力和運(yùn)算能力.滿分12分.
解:……………………………………………………(4分)
………………………………………(6分)
…………………………………………………(8分)
…………………………………………(10分)
即時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[,]……………………(12分)
18.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方
法;考查推理與運(yùn)算能力.滿分12分.
解法一:(I) ,且a1=1,顯然an≠0
,又c為常數(shù),
∴數(shù)列是等差數(shù)列. ………………………………………………(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,……………………………(5分)
又∵a1,a2,a5成等比數(shù)列,,解得c=0或c=2. (7分)
當(dāng)c=0時(shí),an+1=an,不合題意,舍去.
∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2,∴…………………………………………(9分)
…………(10分)
……………………………………………………(11分)
.…………………………………………………………(12分)
解法二:(Ⅰ) ,且a1=1,顯然an≠0
,……………………………………………(2分)
,又c為常數(shù),
∴數(shù)列是等差數(shù)列……………………………………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.
19.本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力。邏輯思維能力和探索問題、解決問題的能力.滿分12分.
解法一:如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x 軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,由已知
得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、
C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、
E(1,0,2 )、F(0,2,1).…………(2分)
(Ⅰ)易知平面ACD1的一個(gè)法向量是
=(2,2,2). …………………(4分)
又∵=(-1,2,-1),
由.= -2+4-2=0,
∴⊥,而EF平面ACD1,
∴EF∥平面ACD1……………………………………………………(6分)
(Ⅱ) ∵=(0,2,0),cos<,>=
∴異面直線EF與AB所成的角為arccos……………………(8分).
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)P(2,2,t)(0<t≤2),平面ACP的一個(gè)法向量為=(x,y,z),
則
∵=(0,2,t), =(-2,2,0),
∴取.
易知平面ABC的一個(gè)法向量,
依題意知,<,>=30°或<,>=150°,
∴|cos<,>|=………………………(10分)
即,解得
∵,∴在棱BB1上存在一點(diǎn)P,當(dāng)BP的長為時(shí),
二面角P-AC-B的大小為30°. ……………………………(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一知=(-1,2,-1) ,=(-2,0,2),
= (-2,2,0),∴-=,
∴、、共面.
又∵EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. ……………………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一.
解法三:(Ⅰ)取AD1的中點(diǎn)K,連結(jié)EK、KC,在△AA1D1
中,EK∥AA1,且EK=AA1,
|
∴四邊形EKCF為平行四邊形,
∴EF∥CK.又∵CK平面ACD1,
EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK,又AB∥CD,
∴∠DCK就是異面直線AB和EF所成的角(或補(bǔ)角).
連DK,∵CD⊥平面AD1,DK平面AD1,
∴CD⊥DK,在Rt△CDK中,DC=2,DK=,∴tan∠DCK=,
∴異面直線AB和EF所成的角為arctan.…………………(8分)
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得二面角P-AC-B的大小為30°.連結(jié)BD交AC于O 點(diǎn),連結(jié)OP,∵ABCD為正方形,∴BO⊥AC,而OB為OP在平面AC上的射影,由三垂線定理得OP⊥AC,
∴∠BOP為二面角P-AC-B的平面角,∴∠BOP=30°,
則tan30°=, ∴BP=
∵∴在棱BB1上存在一點(diǎn)P,當(dāng)BP的長為時(shí),
二面角P-AC-B的大小為30°. ……………………………………(12分)
解法四:(Ⅰ)取D1C1的中點(diǎn)H,連結(jié)EH,FH,A1C1,
∵E為A1D1的中點(diǎn),∴EH∥AlCl,
而A1C1∥AC,∴EH∥AC,
又∵F為CC1的中點(diǎn),∴HF∥D1C.
∵EH與HF相交,D1C與AC相交,
∴平面EHF∥平面ACD1,EF平面EHF,
∴EF∥平面ACD1. ………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三.
20.本小題主要考查函數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解法一:(Ⅰ)依題意設(shè)v=kω2,……………………………………………………(2分)
又當(dāng)ω=3時(shí),v=54000,∴k=6000,…………………………………(3分)
故vω2=6000ω2.………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉,
由(Ⅰ)可知,按重量比為l∶3切割后的價(jià)值為
6000(a)2+6000(a)2.…………………………………………… (6分)
價(jià)值損失為
6000a2一[6000(a)2+6000(a)2].…………………………………(7分)
價(jià)值損失的百分率為
答:價(jià)值損失的百分率為37.5%.……………………………………(8分)
(Ⅲ)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割成兩顆,價(jià)值損失的百分率應(yīng)為
,…………………………(10分)
又,…………………………………(11分)
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立.
即重量比為1∶1時(shí),價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大………………(12分)
解法二:(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)設(shè)一顆鉆石切割成兩顆,其重量比為1∶x,
則價(jià)值損失的百分率為
,………………………………(10分)
又x>0,∴x2+1≥2x,
故
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立.……………………………………………(11分)
故當(dāng)重量比為1∶1時(shí),價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大………………(12分)
21.本小題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查解析幾何的基本思想方法;考查分析問題、解決問題的能九滿分12分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)D(x,y),∵A(a,0),由ABCD為菱形
且AC、BD的交點(diǎn)在y軸上,
∴B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,0)、(-a,y).
由AC⊥BD得
.=(2x,y).(2a,-y)
=4ax - y2=0,
即 y2 = 4ax. …………………………(4分)
注意到ABCD為菱形,∴x≠0
故軌跡E的方程為y2 = 4ax(x≠0).
……………………………………(5分)
(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角,即∠PRQ≤90°.
…………………………………(6分)
證明如下:
(1)當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,±2a),又R(一a,0),
此時(shí)∠PRQ=90°,結(jié)論成立;……………………………………(7分)
(2)當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x一a),
由得 k2x2 - (2ak2+4a)x + k2a2 = 0
記P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2 =2a+,x1 x2=a2.
.=(x1+a)(x2+a)+y1y2
=(x1+a)(x2+a)+k2(x1- a)(x2- a)
=(1+k2) x1 x2+(a - ak2)( x1+x2)+a2+a2k2
=(1+k2) a2 +(a - ak2)( 2a+)+a2+a2k2=>0
………………………………………………………(10分)
即<,>為銳角,……………………………………………(11分)
綜上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立. …………………………(12分)
解法二:(Ⅰ)設(shè)D(x,y),由ABCD為菱形且AC、BD的交點(diǎn)在y軸上,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,y),∵A(a,0),由|DA|=|DC|得
,
化簡得y2=4ax.………………………………………………………(4分)
注意到ABCD為菱形,∴x≠O,
故軌跡E的方程為y2=4ax(x≠O).……………………………………(5分)
(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角,即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)
證明如下:
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),同證法一易知,則x1 x2=a2.又y12=4ax1,y22=4ax2,且|PR|2=x1+x2+2a ,因?yàn)?/p>
?。?i>PR|2+|QR|2-|PQ|2=(x1+a)2+y12+(x2+a)2+y22-( x1+x2+2a)2
=2ax1+2ax2-4a2≥2 -4a2=4a-4a2=0……………(9分)
從而 cos∠PRQ=≥0,……………………(11分)
即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)
解法三:(Ⅰ)因?yàn)?i>ABCD為菱形,且AC與BD的交點(diǎn)在y軸上,
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為 -a,
即點(diǎn)C在直線x = -a上,從而D到C的距離等于D到直線x = -a的距 離.又ABCD為菱形,所以點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)D到直線x = -a的距離 相等,即軌跡E為拋物線,方程為y2=4ax.…………………………(4分)
注意到ABCD為菱形,∴x≠O,
故軌跡E的方程為y2=4ax(x≠O).……………………………………(5分)
(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角,即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)
證明如下:
如圖,過P、Q向x軸及準(zhǔn)線x = -a引垂線,記垂足為M、N、C、H,
則|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|,所以∠PRM≤45°,…………………(10分)
同理可證∠QRN≤45°,從而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)
解法四:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角,即∠PRQ≤90°.………………………(6分)
證明如下:
設(shè)P(x1,y1),則y12=4ax1,tan∠PRM=|kPR|=||=,…(8分)
∵x1+a≥2,∴tan∠PRA≤1,∠QRA≤45°,…………………(10分)
同理可證∠QRA≤45°,即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)
22.本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值和不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查化歸及數(shù)形結(jié)合的思想方法;考查分析問題、解決問題的能九滿分14分.
解:(Ⅰ) = ………………………………………………………(2分)
∵x=0時(shí),f(x)取得極值,∴=0,……………………………………(3分)
故 =0,解得a=1.經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x,由f(x)= +b,
得ln(x+1)-x2+ x-b=0,
令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b,
則f(x)= +b在[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ(x)=0在[0,2]
恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.………………………………………………………(5分)
,………………………………(8分)
當(dāng)x∈(O,1)時(shí), >O,于是φ(x)在(O,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,2)時(shí), <0,于是φ(x)在(1,2)上單調(diào)遞減.…………(8分)
依題意有
∴l(xiāng)n3 -1≤b<ln2 +.…………………………………………………………(9分)
(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)-x2 –x的定義域?yàn)閧x|x> -1},………………………………(10分)
由(Ⅰ)知,……………………………………………(11分)
令=0得,x=0或x= -(舍去),
∴當(dāng)-1<x<0時(shí),>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>0時(shí),<0,f(x)單調(diào)遞減.
∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)
∴f(x)≤ f(0),故ln(x+1)-x2-x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立).…(13分)
對任意正整數(shù)n,取x=>0得,ln(+1)< +,故ln()<.
………………………………………………………………(14分)