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(16).(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為、、c,
且8=7,,AB邊上的高CM長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求△ABC的面積
(17).(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且;數(shù)列為等差數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,為數(shù)列的前項(xiàng)和. 求證:.
(18).(本小題滿(mǎn)分14分)
有10張形狀、大小相同的卡片,其中2張上寫(xiě)著數(shù)字,另外5張上寫(xiě)著數(shù)字1,余下3張上寫(xiě)著數(shù)字2。從中隨機(jī)地取出1張,記下它的數(shù)字后放回原處。當(dāng)這種手續(xù)重復(fù)進(jìn)行2次時(shí),為所記下的兩個(gè)數(shù)之和。
(Ⅰ)求=2時(shí)的概率; (Ⅱ)求的數(shù)學(xué)期望;
(19).(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖,平面⊥平面,為正方形,,
且分別是線段的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證://平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得點(diǎn)到平面的距離為;
若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(20).(本小題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅲ)設(shè) (Ⅱ) 中的與軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)在上,且滿(mǎn)足求的取值范圍.
(21).(本小題滿(mǎn)分14分)
已知、b為函數(shù)的極值點(diǎn)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)判斷函數(shù)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若曲線處的切線斜率為-4,且方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
一.選擇題:每小題5分,滿(mǎn)分40分.
題
號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答 案 |
C |
D |
A |
B |
C |
A |
B |
D |
二.填空題:每小題5分,滿(mǎn)分30分.(其中13~15題只能選做二題)
(9) [9] (10) [0] (11) [] (12) ②③
(13) (14) [] (15) [6]
三.解答題:本大題共6小題,滿(mǎn)分80分.
(16).[解](Ⅰ) ∵,故設(shè)=7k,b=8k(k>0),由余弦定理可=(72+82 -2×7×8cos1200)k2=169k2,∴c=13k,因此……………………(6分)
(Ⅱ)∵∴
∴……………………………………………………(12分)
(17).[解](Ⅰ)由,令,則,又,所以.
,則.…………………………………2分
當(dāng)時(shí),由,可得.
即. ………3分
所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,于是.……………4分
(Ⅱ)數(shù)列為等差數(shù)列,公差,可得.…………6分
從而. ………………………7分
∴
∴. ……………10分
從而. ………………………12分
(17).[解](Ⅰ) 卡片的出法有(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共9種
而=2時(shí),出現(xiàn)三種(0,2),(2,0),(1,1)
故………………………(7分)
(Ⅱ)同(Ⅰ)處理方法可求 ,,
,
因此,的數(shù)學(xué)期望……(14分)
(18).[解]法一:(Ⅰ)證明:取AB中點(diǎn)H,連結(jié)GH,HE,
∵E,F(xiàn),G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn),
∴GH//AD//EF,
∴E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面?!?分
又H為AB中點(diǎn),
∴EH//PB?!?分
又面EFG,平面EFG,
∴PB//面EFG?!?分
(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)GM、AM、EM,則GM//BD,
∴∠EGM(或其補(bǔ)角)就是異面直線EG與BD所成的角。… 4分
在Rt△MAE中,,
同理,又,
∴在Rt△MGE中,……………………7分
故異面直線EG與BD所成的角為?!?分
(Ⅲ)假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足題設(shè)條件。過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥AB于R,連結(jié)RE,則QR//AD。
∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA,
又,
∴AD⊥平面PAB。
又∵E,F(xiàn)分別是PA,PD中點(diǎn),
∴EF//AD,∴EF⊥平面PAB
又面EFQ,
∴面EFQ⊥平面PAB。
過(guò)A作AT⊥ER于T,則AT⊥面EFQ,
∴AT就是點(diǎn)A到平面EFQ的距離?!?2分
設(shè),則,,AE=1,
在Rt△EAR中, 解得。
故存在點(diǎn)Q,當(dāng)時(shí),點(diǎn)A到平面EFQ的距離為 ……14分
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則,,,,
,,,。
(Ⅰ)∵,,,……………………1分
設(shè),即 解得。
∴,又∵與不共線,∴、與共面?!?分
∵平面EFG,∴PB//平面EFG。………………3分
(Ⅱ)∵,,……………………4分
∴。
故異面直線EG與BD所成的角為?!?分
(Ⅲ)假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足題設(shè)條件。令,則,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,∴。
而,設(shè)平面EFQ的法向量為,則
∴。
令,則?!?0分
又,∴點(diǎn)A到平面EFQ的距離…………13分
即,∴或不合題意,舍去。
故存在點(diǎn)Q,當(dāng)時(shí),點(diǎn)A到平面EFQ的距離為………………14分
(19).[解](Ⅰ) ∵ ……1分
∵直線相切,
∴ …………2分
∴ …………3分
∵橢圓C1的方程是 ………………4分
(Ⅱ)∵M(jìn)P=MF2,
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1(1,0)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線 ………………6分
∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為 …………7分
(Ⅲ)Q(0,0),設(shè) …………8分
∴ …………9分
∵
∴
∵,化簡(jiǎn)得
∴ ………………11分
∴
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立 …………13分
∵
∴當(dāng)的取值范圍是……14分
(20).[解](Ⅰ) 依題設(shè)方程的兩根分別為………2分,由題意可知: 即………3分
則
即……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ):
(Ⅲ)由,
的變化情況如下:
|
(-∞,-3) |
-3 |
|
|
-1 |
(-1,0) |
0 |
|
- |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
|
|
|
極小值 |
|
|
極大值 -1 |
|
|
|
………………14分
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