08年咸陽市高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試

參考答案及評分標準

一、選擇題

1．C 易知A={-1，0，1}，B={1，2}，故A∩B={1}.

2．D 分x<1與2≤x<5討論.

3．D　 　=+λ(+)=+2λ(其中D為BC的中點),于是有=2λ,從而點A、D、P共線，即點P的軌跡通過三角形ABC的重心.

4．B 作出不等式表示的平面區(qū)域即可.

5．A　 先從14人中選出12人,再將12人進行分組,且每組4人.

6．B　 由線面位置關(guān)系不難知道:①③正確的.

7．B　 [解析]由題意知:等差數(shù)列中,從第1項到第2005項是正數(shù),且從第2006項開始為負數(shù),S₄₀₁₀=2005(a₁+a₄₀₁₀)=2005(a₂₀₀₅+a₂₀₀₆)>0,

　　　　　　　　　　　　　　　 S₄₀₁₁==4011a₂₀₀₆<0, 故n的最大值為4010.

　　　　　　　　　　 另解:由題意可得:等差數(shù)列中,從第1項到第2005項是正數(shù),且從第2006項開始是負數(shù),則所有的正項的和為S_n的最大值,即當n=2005時,取得最大值,顯然S_n是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次函數(shù),且開口向下,所以第2005項離對稱軸最近,故其對稱軸介于2005到2005.5之間,又因為二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點是(0,0),則設(shè)另一個交點(x,0),x應(yīng)介于4010到4011之間.所以使S_n>0的最大自然數(shù)是4010,故選B.

　　　　　　　　　　 本小題結(jié)論可以推廣成一般結(jié)論:等差數(shù)列中,a₁>0,a_k+a_k+1>0,且a_ka_k+1<0,則使前n項和Sn>0的最大自然數(shù)n是2k..

8．B　 原函數(shù)的圖象是由y=圖象向下移動一個單位,且在(－∞,0),(0,+∞)上為減函數(shù),所以其反函數(shù)的圖象是由y=的圖象向左移動一個單位,且在定義域上為減函數(shù).

9．B　　 易知面BCC₁B₁內(nèi)的點到點F的距離是到BC的距離倍的，由橢圓的第二定義即知.

10．D　 設(shè) M F雙曲線的交點為P，焦點F(－c,0), F₂(c,0),由平面幾何知識知：F₂P⊥FM，又|F F₂|=2c　 于是 |PF₂| =2csin60°=c　　　 |PF₁| =c　　

　　　　　　 　故　 2a= |PF₂| －|PF₁| =c－c　 =( －1)c　 e= =+1.

11．C　 特值法：令a=2與可知在上恒正，顯然選項D不正確.

12．B 依題意知PMQ曲線是以A、B為焦點、實軸長為2的雙曲線的一支(以B為焦點)，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為軸、AB的中點為原點建立平面直角坐標系，則該雙曲線的方程為 x²－＝1，點C的坐標為(3，).則修建這條公路的總費用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|],設(shè)點M、C在右準線上射影分別為點M 、C ，根據(jù)雙曲線的定義有|M M|=|MB|，所以=2a[|M M|+|MC|]≥2a|C C|=2a×(3-)=5a.當且僅當點M在線段C C上時取等號，故ω的最小值是5a.

二、填空題

13.200　　 易知A=2 ,ω= ,=±,y=2－cos(πx+)=2±sinπx,從而

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.

14.　　 [解析]∵y^’=3x²－≥－,　　　 ∴tanα≥－

　　　　　　 又∵ 0≤α≤∏　　　　　　　　　 ∴0≤α<

15. 　由二項式定理知: 的展開式中的系數(shù)為 C.,的展開式中的系數(shù)為C.,于是有C.= C.,解得 =.

16.①、③　　　 可通過作差比較得到結(jié)論.

17. 283　　 [解析] 由條件知道:該數(shù)列的奇數(shù)項分別為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶數(shù)項分別為3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇數(shù)項的前10項與偶數(shù)項的前9項相加即得S₁₉=283.

18. 4012　 [解析]∵f(1+0)=f(1).f(0),2=2f(0),∴f(0)=1

　　　　　　　　　　　 ∵f(2)=f(1+1)=f(1).f(1)=2²,

　　　　　　　　　　　　　　　 f(3)=f(2+1)=f(2).f(1)=2³,

　　　　　　　　　　　　　　　 依此類推:f(2005)=2²⁰⁰⁵,f(2006)=2²⁰⁰⁶,

　　　　　　　　　　　　　 ∴原式==4012.

三、解答題

19．解：(Ⅰ)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分

=

==　　　　　　 3分

∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1

_max=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(Ⅱ)　 由已知,得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

又　　 ∴　 　　　　　　　　10分　

∵θ∈［π，2π］∴，∴．　　　　　　　　 12分

20．解: (Ⅰ) 比賽以甲3勝1而結(jié)束,則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局,　　　　 1分

∴所求概率為:.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分　　　　　　　

答：比賽以甲3勝1而結(jié)束的概率為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　　　　　　

(Ⅱ) 比賽以乙3勝2而結(jié)束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，　　　　　　　　 5分

∴所求概率為: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

答：比賽以乙3勝2而結(jié)束的概率為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(Ⅲ)甲先勝3局的情況有3種:3勝無敗,3勝1敗,3勝2敗.，則其概率分別為　　　 9分

，=，，　　　　　　　　　　　　

于是甲獲勝的概率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

∴乙獲勝的概率　　　　　 ∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21．方法一

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,　　　　　　　　　　　　 1分

　∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形，　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　2分

∴AM∥OE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∵平面BDE， 平面BDE，　　　　　　　　　　　

　　　　　　　 ∴AM∥平面BDE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　　

　(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角。　　　　　　　　　　　 7分

在RtΔASB中，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

∴二面角A-DF-B的大小為60º.　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(Ⅲ)設(shè)CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，　　　　　　　　　　　　

∴PQ⊥QF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分　

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

又∵ΔPAF為直角三角形，

∴，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

方法二( 仿上給分)

　 　(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系。

　 　　設(shè)，連接NE，

　　　 則點N、E的坐標分別是(、(0,0,1),

　　　 ∴NE=(,

　　　 又點A、M的坐標分別是

　 ()、(

　 ∴ AM=(

∴NE=AM且NE與AM不共線，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

(Ⅱ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

∴ 為平面DAF的法向量。

∵NE.DB=(.=0，

∴NE.NF=(.=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE為平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB與NE的夾角是60º.

即所求二面角A-DF-B的大小是60º.

(Ⅲ)設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴DA=(0，，0，)，

又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得或(舍去)，

即點P是AC的中點.

22．解:(Ⅰ)法一: ||== ,

當n= 時,　 ||_min==1,所以c=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

法二:設(shè)G(x,y),則G在直線y=x上,所以||的最小值為點F到直線y=x的距離,即

=1,得c=.

(Ⅱ)∵=　　(≠0),∴PE⊥直線x= ,　　　 又　 || = || (a>c>0).

　　　　　　　 ∴點P在以F為焦點,x= 為準線的橢圓上.　　　　　　　　　　　　　 5分

設(shè)P(x,y), 則有 = |－x|, 點B(0－1)代入, 解得a=.

∴曲線C的方程為 +y²=1　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

(Ⅲ)假設(shè)存在方向向量為a₀=(1,k)(k≠0)的直線l滿足條件,則可設(shè)l:y=kx+m(k≠0),

與橢圓+y²=1聯(lián)立,消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²－3=0.　　　　　　　　　　　　　　 10分

由判別式△>0,可得m²<3k²+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), MN的中點P(x₀,y₀),由|BM|=|BN|, 則有BP⊥MN.

由韋達定理代入k_BP=－,可得到m= 　　　　　　　　　　　　　　 ②

聯(lián)立①②,可得到　 k²－1<0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

　∵k≠0,　　　　　　　　　　　 ∴ －1<k<0或0<k1.

即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l與曲線C交于兩個不同的點M、N,且||=||. 14分

　23．解: (Ⅰ) ,若切點是,則

切線方程為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

當n=1時,切線過點(1,0),即,得

當n>1時,切線過點,即,解得.

數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

故所求通項　.　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ) 由(1)知

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　9分

(Ⅲ)設(shè),則,

兩式相減得，

.　　　 故.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分