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5.()某種商品原來定價每件p元,每月將賣出n件,假若定價上漲x成(這里x成即,0<x≤10.每月賣出數(shù)量將減少y成,而售貨金額變成原來的 z倍.
(1)設y=ax,其中a是滿足≤a<1的常數(shù),用a來表示當售貨金額最大時的x的值;
(2)若y=x,求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.
參考答案
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解:(1)令F(x)=f(x)-x,因為x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).當x∈(0,x1)時,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,
又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,由此得f(x)<x1.
(2)依題意:x0=-,因為x1、x2是方程f(x)-x=0的兩根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.
∴x1+x2=-
∴x0=-,因為ax2<1,
∴x0<
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一、1.解析:由題意f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0,且f(a)>f(b),g(a)>g(b)
∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)
而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)]
=2g(b)>0,∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
同理可證:f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
答案:A
二、2.解析:①②③不滿足均值不等式的使用條件“正、定、等”.④式:|x-y|=|(x-2)-(y-2)|≤|(x-2)-(y-2)|≤|x-2|+|y-2|<ε+ε=2ε.
答案:④
3.解析:由已知y1=;y2=0.8x(x為倉庫與車站距離)費用之和y=y1+y2=0.8x+ ≥2=8
當且僅當0.8x=即x=5時“=”成立
答案:5公里處
三、4.證明:(1)設g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且x>0.
∵x1<2<x2<4,∴(x1-2)(x2-2)<0,即x1x2<2(x1+x2)-4,
(2)解:由方程g(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知x1.x2=>0,所以x1,x2同號
1°若0<x1<2,則x2-x1=2,∴x2=x1+2>2,
∴g(2)<0,即4a+2b-1<0 ①
又(x2-x1)2=
∴2a+1= (∵a>0)代入①式得,
2<3-2b ②
解②得b<
2°若 -2<x1<0,則x2=-2+x1<-2
∴g(-2)<0,即4a-2b+3<0 ③
又2a+1=,代入③式得
2<2b-1 ④
解④得b>.
綜上,當0<x1<2時,b<,當-2<x1<0時,b>.
5.解:(1)由題意知某商品定價上漲x成時,上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是:p(1+)元、n(1-)元、npz元,因而
,在y=ax的條件下,z=[-a
[x-]2+100+].由于≤a<1,則0<≤10.
要使售貨金額最大,即使z值最大,此時x=.
(2)由z= (10+x)(10-x)>1,解得0<x<5.
6.(1)證明:令m>0,n=0得:f(m)=f(m).f(0).∵f(m)≠0,∴f(0)=1
取m=m,n=-m,(m<0),得f(0)=f(m)f(-m)
∴f(m)=,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1
(2)證明:任取x1,x2∈R,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]
=f(x1)-f(x2-x1).f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)],
∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)f(x)在R上為單調減函數(shù).
(3)由,由題意此不等式組無解,數(shù)形結合得:≥1,解得a2≤3
∴a∈[-,]
7.(1)解:設y=,則(y-2)x2-bx+y-c=0 ①
∵x∈R,∴①的判別式Δ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0,
即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由條件知,不等式②的解集是[1,3]
∴1,3是方程4y2-4(2+c)y+8c+b2=0的兩根
∴c=2,b=-2,b=2(舍)
(2)任取x1,x2∈[-1,1],且x2>x1,則x2-x1>0,且
(x2-x1)(1-x1x2)>0,∴f(x2)-f(x1)=->0,
∴f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即F(x2)>F(x1)
∴F(x)為增函數(shù).
即-≤u≤,根據(jù)F(x)的單調性知
F(-)≤F(u)≤F(),∴l(xiāng)g≤F(|t-|-|t+|)≤lg對任意實數(shù)t 成立.