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4.()已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.
參考答案
難點磁場
解法一:由題設(shè)條件知B=60°,A+C=120°.
設(shè)α=,則A-C=2α,可得A=60°+α,C=60°-α,
依題設(shè)條件有
整理得4cos2α+2cosα-3=0(M)
(2cosα-)(2cosα+3)=0,∵2cosα+3≠0,
∴2cosα-=0.從而得cos.
解法二:由題設(shè)條件知B=60°,A+C=120°
①,把①式化為cosA+cosC=-2cosAcosC ②,
利用和差化積及積化和差公式,②式可化為
?、郏?
將cos=cos60°=,cos(A+C)=-代入③式得:
④
將cos(A-C)=2cos2()-1代入 ④:4cos2()+2cos-3=0,(*),
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析:其中(3)(4)正確.
答案: B
二、2.解析:∵A+B+C=π,A+C=2B,
答案:
3.解析:∵A為最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=.
∵C為最大角,∴B為銳角,又sinB=.故cosB=.
即sin(A+C)=,cos(A+C)=-.
∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-,
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1=.
答案:
三、4.解:如圖:連結(jié)BD,則有四邊形ABCD的面積:
S=S△ABD+S△CDB=.AB.ADsinA+.BC.CD.sinC
∵A+C=180°,∴sinA=sinC
故S=(AB.AD+BC.CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB.AD.cosA=20-16cosA
在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB.CD.cosC=52-48cosC
∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA,
∴64cosA=-32,cosA=-,又0°<A<180°,∴A=120°故S=16sin120°=8.
5.解:R=rcosθ,由此得:,
7.解:由a、b、3c成等比數(shù)列,得:b2=3ac
∴sin2B=3sinC.sinA=3(-)[cos(A+C)-cos(A-C)]
∵B=π-(A+C).∴sin2(A+C)=-[cos(A+C)-cos]
即1-cos2(A+C)=-cos(A+C),解得cos(A+C)=-.
∵0<A+C<π,∴A+C=π.又A-C=∴A=π,B=,C=.
8.解:按題意,設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點,顯然A、P兩點關(guān)于折線DE對稱,又設(shè)∠BAP=θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,再設(shè)AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC中,
∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ,
由正弦定理知:.∴BP=
在△PBD中,,
∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°,∴當(dāng)60°+2θ=90°,即θ=15°時,
sin(60°+2θ)=1,此時x取得最小值a,即AD最小,∴AD∶DB=2-3.