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5.()某企業(yè)生產一種產品時,固定成本為5000元,而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元,市場對此商品年需求量為500臺,銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x-x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產品售出的數(shù)量(單位:百臺)
(1)把利潤表示為年產量的函數(shù);
(2)年產量多少時,企業(yè)所得的利潤最大?
(3)年產量多少時,企業(yè)才不虧本?
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.
參考答案
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(1)證明:先將f(x)變形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+],
當m∈M時,m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立,故f(x)的定義域為R.
反之,若f(x)對所有實數(shù)x都有意義,則只須x2-4mx+4m2+m+>0,令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析:設u=x2-4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函數(shù),∴當u最小時,f(x)最小.而u=(x-2m)2+m+,顯然,當x=m時,u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值.
(3)證明:當m∈M時,m+=(m-1)+ +1≥3,當且僅當m=2時等號成立.
∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1.
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一、1.解析:∵m1=x2在(-∞,-)上是減函數(shù),m2=在(-∞,-)上是減函數(shù),
∴y=x2+在x∈(-∞,-)上為減函數(shù),
∴y=x2+ (x≤-)的值域為[-,+∞.
答案:B
2.解析:令=t(t≥0),則x=.
∵y=+t=- (t-1)2+1≤1
∴值域為(-∞,1.
答案:A
二、3.解析:t=+16×()2/V=+≥2=8.
答案:8
4.解析:由韋達定理知:x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2-,又x1,x2為實根,∴Δ≥0.∴m≤-1或m≥2,y=(m-)2-在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),在[2,+∞上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸.故m=1時,
ymin=.
答案:-1
三、5.解:(1)利潤y是指生產數(shù)量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差,由題意,當x≤5時,產品能全部售出,當x>5時,只能銷售500臺,所以
y=
(2)在0≤x≤5時,y=-x2+4.75x-0.5,當x=-=4.75(百臺)時,ymax=10.78125(萬元),當x>5(百臺)時,y<12-0.25×5=10.75(萬元),
所以當生產475臺時,利潤最大.
(3)要使企業(yè)不虧本,即要求
解得5≥x≥4.75-≈0.1(百臺)或5<x<48(百臺)時,即企業(yè)年產量在10臺到4800臺之間時,企業(yè)不虧本.
6.解:(1)依題意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立,當a2-1≠0時,其充要條件是,
∴a<-1或a>.又a=-1時,f(x)=0滿足題意,a=1時不合題意.故a≤-1或a>為所求.
(2)依題意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,則f(x)的值域為R,故有,解得1<a≤,又當a2-1=0即a=1時,t=2x+1符合題意而a=-1時不合題意,∴1≤a≤為所求.
7.解:設每周生產空調器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺,由題意得:
x+y+z=360 ①
②x>0,y>0,z≥60. ③
假定每周總產值為S千元,則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下,為求目標函數(shù)S的最大值,由①②消去z,得y=360-3x. ④
將④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再將④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2.2x,即S=-x+1080.由條件⑥及上式知,當x=30時,產值S最大,最大值為S=-30+1080=1050(千元).得x=30分別代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.
∴每周應生產空調器30臺,彩電270臺,冰箱60臺,才能使產值最大,最大產值為1050千元.
8.解:(1)如圖所示:設BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,
∴S1=πah+πbh=,
∴f(x)= ①
又
代入①消c,得f(x)=.
在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<,則
x==sinA+cosA=sin(A+).∴1<x≤.
(2)f(x)= +6,設t=x-1,則t∈(0, -1),y=2(t+)+6在(0,-1上是減函數(shù),∴當x=(-1)+1=時,f(x)的最小值為6+8.