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5.()已知曲線C1:y=x2與C2:y=-(x-2)2,直線l與C1、C2都相切,求直線l的方程.
參考答案
難點磁場
解:由l過原點,知k=(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上,y0=x03-3x02+2x0,
∴=x02-3x0+2
y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k=,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2
2x02-3x0=0,∴x0=0或x0=
由x≠0,知x0=
∴y0=()3-3()2+2.=-
∴k==-
∴l方程y=-x 切點(,-)
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1
答案:B
2.解析:設(shè)切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面,y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=-3,y0(2)=-15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點A(-3,3)或B(-15,),從而得y′(A)= =-1及y′(B)= ,由于切線過原點,故得切線:lA:y=-x或lB:y=-.
答案:A
二、3.解析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義:f′(x0)=(這時)
答案:-1
4.解析:設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0.g′(0)=g(0)=1.2.…n=n!
答案:n!
三、5.解:設(shè)l與C1相切于點P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,-(x2-2)2)
對于C1:y′=2x,則與C1相切于點P的切線方程為
y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12 ①
對于C2:y′=-2(x-2),與C2相切于點Q的切線方程為y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4 ②
∵兩切線重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x12=x22-4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0
∴直線l方程為y=0或y=4x-4
6.解:(1)注意到y>0,兩端取對數(shù),得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x
(2)兩端取對數(shù),得
ln|y|=(ln|x|-ln|1-x|),
兩邊解x求導(dǎo),得
7.解:設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5-,當(dāng)下端移開1.4 m時,t0=,又s′=- (25-9t2).(-9.2t)=9t,所以s′(t0)=9×=0.875(m/s)
8.解:(1)當(dāng)x=1時,Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),當(dāng)x≠1時,1+2x+3x2+…+nxn-1=,兩邊同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=兩邊對x求導(dǎo),得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=