參考答案

難點磁場

(1)解：依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+ae^x.整理，得(a－)

(e^x－)=0.因此，有a－=0,即a²=1,又a>0,∴a=1

(2)證法一：設0＜x₁＜x₂,則f(x₁)－f(x₂)=

由x₁>0,x₂>0,x₂>x₁,∴>0,1－e＜0,

∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

證法二：由f(x)=e^x+e^－x，得f′(x)=e^x－e^－x=e^－x.(e^2x－1).當x∈(0,+∞)時，e^－x>0,e^2x－1>0.

此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù).

殲滅難點訓練

一、1.解析：f(－x)=　=－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0)

三、5.證明：(1)設－1＜x₁＜x₂＜+∞,則x₂－x₁>0, >1且>0,

∴>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=+　>0

∴f(x)在(－1，+∞)上為遞增函數(shù).

(2)證法一：設存在x₀＜0(x₀≠－1)滿足f(x₀)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x₀＜2與x₀＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數(shù)根.

證法二：設存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,則＜－2,＜1,∴f(x₀)＜－1與f(x₀)=0矛盾，若x₀＜－1,則>0, >0，∴f(x₀)>0與f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.

6.證明：∵x≠0,∴f(x)=,

設1＜x₁＜x₂＜+∞,則.

∴f(x₁)>f(x₂),故函數(shù)f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù).(本題也可用求導方法解決)

7.證明：(1)不妨令x=x₁－x₂,則f(－x)=f(x₂－x₁)=　

=－f(x₁－x₂)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).

(2)要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).

8.(1)證明：設x₁＜x₂,則x₂－x₁－>－,由題意f(x₂－x₁－)>0,

∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－)－1=f［(x₂－x₁)－］>0,

∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.