2009年撫州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷(理科)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.

第Ⅰ卷　(選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1＋i)z＝1－i3，則復(fù)數(shù)z等于

A.1　　　　　　　B.－i　　　　　　 C.1－i　　　　　　D.－1－i

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2.命題p：|x|≥1，命題q：x2＋x－6≥0，則“非p”是“非q”成立的

A.必要不充分條件  B.充分不必要條件

C.充要條件  D.既不充分也不必要條件

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3.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象過(guò)二、三、四象限，則函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過(guò)

A.第一象限  B.第二象限  C.第三象限  D.第四象限

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4.已知直線l1：x＋y＋2＝0和直線l2：x＋y＝0，設(shè)點(diǎn)P到l1與l2的距離分別為d1與d2，記d＝max{d1，d2}，那么當(dāng)d≥時(shí)點(diǎn)P所在的區(qū)域是

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　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D

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5.如圖在正方體ABCD―A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AD、CC1上，若AF⊥A1E，則

A.AE＝ED  B.AE＝C1F

C.AE＝CF  D.C1F＝CF

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6.函數(shù)y＝log3cos x(－＜x＜)的圖象是

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　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D

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7.在函數(shù)y＝f(x)的圖象上有點(diǎn)列(xn，yn)，若數(shù)列{xn}是等差數(shù)列，數(shù)列{yn}是等比數(shù)列，則函數(shù)y＝f(x)的解析式可能為

A.f(x)＝2x＋1  B.f(x)＝4x2

C.f(x)＝log3x  D.f(x)＝()x

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8.若AB是過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM、BM與坐標(biāo)軸不平行，kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率，則kAM?kBM等于

A.－  B.－  C.－  D.－

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9.若△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知m＝(a＋b，c)，n＝(a－b，c－a)，若|m＋n|＝|m－n|，則角B的大小

A.30°  B.60°  C.90°  D.120°

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10.將1、2、3、4填入4×4方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字.右圖是一種填法.不同的填法共有

A.24種  B.144種

C.216種  D.432種

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11.x、y、z均為正實(shí)數(shù)，且4xy＋z2＋2yz＋2xz＝8，則x＋y＋z的最小值為

A.2  B.2  C.4  D.8

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12.已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2009|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2009|(x∈R)且f(a2－1)＝f(a－1)，則f(a)的值有

A.2個(gè)  B.3個(gè)  C.4個(gè)  D.無(wú)數(shù)個(gè)

第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分)

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫(xiě)在題中橫線上.

13.已知函數(shù)f(x)＝，則f－1(－)的值是　　　　.

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14.在(－)n的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是　　　　.

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15.給出下列命題：

①一個(gè)球與棱長(zhǎng)為的正方體的所有棱都相切，則此球的體積為；

②若 ()＝2，則實(shí)數(shù)a＝1＋；

③已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，則方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)必有實(shí)根；

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④圓(x－2)2＋y2＝2外的點(diǎn)M對(duì)該圓的視角為90°時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4.

其中正確的命題序號(hào)是　　　　.

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16.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有性質(zhì)：

①對(duì)任意a，b∈R，a*b＝b*a；

②對(duì)任意a∈R，a*0＝a；

③對(duì)任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.

則函數(shù)f(x)＝x*(x＞0)的最小值為　　　　.

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分74分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿(mǎn)分12分)

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已知f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2)，f(x)的最小正周期為4π，且最大值與最小值的差為2.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)在△ABC中，B＝，其對(duì)邊為b，若f(B)＝b，求△ABC的最大面積.

 

 

 

 

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18.(本小題滿(mǎn)分12分)

某公司通過(guò)三次測(cè)試來(lái)聘用職員，一旦某次測(cè)試通過(guò)就聘用，否則就一直測(cè)試到第三次為止，現(xiàn)有4人前來(lái)應(yīng)聘，假設(shè)每位應(yīng)聘者三次通過(guò)測(cè)試的概率都依次為，，p，每位應(yīng)聘者被聘用的概率為p0.

(1)求p0與p之間的關(guān)系式(用p表示p0)；

(2)若4位應(yīng)聘者中恰有2人被聘用的概率最大，求p0與p的值；

(3)在(2)的條件下，求4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的分布列及Eξ.

 

 

 

 

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19.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，Q是BC邊上的一點(diǎn)，又PA⊥平面ABCD，且PA＝4，直線PQ與平面ABCD所成角的正切值為.

(1)求二面角Q―PD―A的大��；

(2)求點(diǎn)A到平面PDQ的距離.

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20.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，曲線段MN是反比例函數(shù)圖象的一段，記這段圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x).

(1)寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的解析式，并指出它的定義域；

(2)設(shè)P是函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)為t，過(guò)P作切線l，l將正方形OABC截成兩部分，其中正方形左下部分的面積設(shè)為f(t)，求f(t)的解析式，并求出f(t)的最大值.

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21.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知點(diǎn)A(1,0)，B(－2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足∠MBA＝2∠MAB(∠MAB≠0°).

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)設(shè)直線l：y＝x＋b，若軌跡E上存在不同的兩點(diǎn)C、D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，是否可能使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若有，求實(shí)數(shù)b的值，否則說(shuō)明理由.

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22.(本小題滿(mǎn)分14分)

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足4Sn＝3an＋8n2－3.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝(an－2)an(an＋2)，求證：＋＋…＋＜.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

撫州市2009屆高三統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(理)

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1.A　2.B　3.A　4.D　5.C　6.A　7.D　8.B　9.B　10.D　11.B　12.D

13.－3　14.7　15.①④　16.3

17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.

又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值為A＋1，最小值為1.

由f(x)的最大值與最小值的差為2，∴A＝2.

由f(x)過(guò)點(diǎn)(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，

則T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分

(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.

設(shè)A，C所對(duì)的邊分別為a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)等號(hào)成立，△ABC的面積S＝acsin≤.12分

18.解：(1)某應(yīng)聘者能被聘用的概率為p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分

(2)在4位應(yīng)聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1－P0)2，

由于p0(1－p0)≤()2，當(dāng)p0＝1－p0，即p0＝時(shí)，p0(1－p0)取最大值，

此時(shí)＋p＝，解得p＝.7分

(3)4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的取值為0,1,2,3,4，

P(ξ＝0)＝C()4()0＝，P(ξ＝1)＝C()3()1＝，

P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()1()3＝，

P(ξ＝4)＝C()0()4＝，

其分布列為

ξ

0

1

2

3

4

p

由于ξ服從二項(xiàng)分布，所以Eξ＝2.12分

19.解：(1)連AQ，∠PQA是PQ與平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中點(diǎn)，過(guò)Q作QH⊥AD于H，則QH⊥平面PAD，過(guò)Q作QM⊥PD，連MH，則∠QMH為所求二面角的平面角.

在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，

所以tan∠QMH＝＝＝，

從而所求二面角的大小為arctan .6分

(2)由于Q是BC的中點(diǎn)，可得DQ⊥PQ，

⇒面PAQ⊥面PDQ，

過(guò)A作AG⊥PQ于G，則AG為點(diǎn)A到平面PQD的距離.

AG＝＝＝.12分

另解：分別以AD，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由條件知Q是BC的中點(diǎn)，面PAD的一個(gè)法向量是＝(0,2,0).

又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，

故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，

 

設(shè)面PDQ的法向量為n＝(x，y，z)，

則⇒由此可取n＝(1,1,1)，

從而(1)cos〈，n〉＝＝＝.

(2)面PDQ的一個(gè)法向量為n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，

故點(diǎn)A到平面PDQ的距離d＝＝＝.

20.解：(1)設(shè)f(x)＝(k為非零常數(shù))，易得f(x)＝(1≤x≤2).3分

(2)f′(x)＝－，f′(t)＝－，點(diǎn)P(t，)，∴l(xiāng)：y－＝－(x－t)，即l：y＝－x＋.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.

①當(dāng)＞3，即t＜時(shí)，2t＜＜3，此時(shí)f(t)＝＝(8t－3t2).

②當(dāng)≤3，且2t≤3即≤t≤時(shí)，f(t)＝?2t?＝4.

③當(dāng)2t＞3，即t＞時(shí)，此時(shí)＜3，f(t)＝＝(4t－3).

故f(t)＝8分

當(dāng)1≤t＜時(shí)，f′(t)＝(4－3t)＞0，f(t)為增函數(shù)；當(dāng)＜t≤2時(shí)，f′(t)＝＜0，f(t)為減函數(shù)，且f(t)在[1,2]上連續(xù)，所以f(t)max＝4.12分

21.解：(1)設(shè)∠MAB＝θ，M(x，y)，則∠MBA＝2θ，tan θ＝，tan 2θ＝，tan 2θ＝⇒x2－＝1(x＜－1).4分

(2)設(shè)CD：y＝－3x＋m，

⇒6x2－6mx＋m2＋3＝0.

由于此方程在(－∞，－1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，易求得m＜－.

設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，并設(shè)點(diǎn)C在直線l的上方，則

y1＝－3x1＋m，y2＝－3x2＋m.

假設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，由于∠CBA＝2∠CAB，∠DBA＝2∠DAB，

故∠CBD＝2∠CAD，由此∠CAD＝60°.

tan 60°＝＝.

⇒＝

⇒＝

⇒＝－⇒(x1－x2)2＝(m＋6)2

⇒m＝－＜－.

∴x1＋x2＝m＝－，y1＋y2＝－3(x1＋x2)＋2m＝，從而CD中點(diǎn)為(－，)，代入直線l的方程得＝－×＋b⇒b＝.

故存在b＝滿(mǎn)足題設(shè)條件.12分

22.解：(1)令n＝1得a1＝5.

由4Sn＝3an＋8n2－3

得4Sn－1＝3an－1＋8(n－1)2－3

兩式相減得an＝－3an－1＋16n－8.

設(shè)此式可寫(xiě)成an－pn－q＝－3[an－1－p(n－1)－q]，可解得p＝4，q＝1，

于是an－4n－1＝(－3)n－1(a1－4×1－1)，而a1＝5，故有an＝4n＋1.6分

(注：也可以采取先猜，后用數(shù)學(xué)歸納法證的辦法得出通項(xiàng))

(2)由bn＝(4n－1)(4n＋1)(4n＋3)有

＝＝(－)

＝(－)

＜(－).

＋＋…＋＜[(－)＋(－)＋…＋(－)]

＝[－]＜＝.14分

 

 


同步練習(xí)冊(cè)答案