1. 設I是△ABC的內(nèi)心，∠A,∠B,∠C的交平分線分別交對邊于A',B',C'點，求證: 

1

< 

AI?BI?CI

≤

8

4

AA'?BB'?CC'

27

2. 設n>6是一個整數(shù)，a₁,a₂,...,a_k 都是小于n的正整數(shù)并且與n互素。

如果a₂-a₁=a₃-a₂=... =a_k-a_k-1>,

求證，n是質(zhì)數(shù)或者是2的冪次方。

3. 試找出最小的整數(shù)n使得每一個S的n元子集都包含5個兩兩互素的數(shù)。

4. 設G是一個有k條邊的連通圖，試證明可是對這些邊編號1,2,...,k使得對于每個屬于兩條或兩條以上的邊的頂點， 從這個頂點出發(fā)的所有邊的標號的最大公約數(shù)是1。

注：一個圖是由一組頂點和一些連接這些頂點的線段（稱為邊）組成。 每對頂點之間最多有1條邊。如果對圖中的任何兩個不同的頂點x,y都有一些頂點x=v₀,v₁,..., v_m=y使得v_i,v_i+1(0<=i<m)之間都有一條邊，則稱這個圖是連通的。

5. X是△ABC內(nèi)部中的一個點，試證明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一個不大于30^o。

6. 任意給定一個實數(shù)a>1，試構(gòu)造一個有界的無限序列x₀,x₁,x₂,... 

使得對任何x≠y都有|x_i-x_j||i-j|^a>=1。 

注：一個無限實數(shù)序列x₀,x₁,x₂,... 是有界的如果存在一個常數(shù)C使得|x_i|<C對任何i成立。