第七節(jié)  函數(shù)的綜合應(yīng)用

【回顧與思考】

    函數(shù)應(yīng)用

【例題經(jīng)典】

一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

例1 （2006年南充市）已知點(diǎn)A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，試求出圖象經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式并畫(huà)出其圖象．（要求標(biāo)出必要的點(diǎn)，可不寫(xiě)畫(huà)法）．

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的小綜合題，題目設(shè)計(jì)新穎、巧妙、難度不大，但能很好地考查學(xué)生的基本功．

一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

例2  （2005年海門(mén)市）某校八年級(jí)（1）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來(lái)每人每年用于購(gòu)買(mǎi)飲料的平均支出是a元．經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購(gòu)買(mǎi)純凈水的費(fèi)用，另一部分是其他費(fèi)用780元，其中，純凈水的銷(xiāo)售價(jià)（元/桶）與年購(gòu)買(mǎi)總量y（桶）之間滿(mǎn)足如圖所示關(guān)系．

    （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時(shí)，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個(gè)人買(mǎi)材料，哪一種花錢(qián)更少？

（3）當(dāng)a至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水一定合算？從計(jì)算結(jié)果看，你有何感想（不超過(guò)30字）？

    【點(diǎn)評(píng)】這是一道與學(xué)生生活實(shí)際緊密聯(lián)系的試題，由圖象可知，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，400）、（5，320）可確定y與x關(guān)系式，同時(shí)這也是一道確定最優(yōu)方案題，可利用函數(shù)知識(shí)分別比較學(xué)生個(gè)人購(gòu)買(mǎi)飲料與改飲桶裝純凈水的費(fèi)用，分析優(yōu)劣．

二次函數(shù)與圖象信息類(lèi)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例3  一蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據(jù)今年的市場(chǎng)行情，預(yù)計(jì)從5月1日起的50天內(nèi)，它的市場(chǎng)售價(jià)y₁與上市時(shí)間x的關(guān)系可用圖（a）的一條線(xiàn)段表示；它的種植成本y₂與上市時(shí)間x的關(guān)系可用圖（b）中的拋物線(xiàn)的一部分來(lái)表示．

    （1）求出圖（a）中表示的市場(chǎng)售價(jià)y₁與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式．

    （2）求出圖（b）中表示的種植成本y₂與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式．

    （3）假定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純利潤(rùn)，問(wèn)哪天上市的這種綠色蔬菜既不賠本也不賺錢(qián)？

（市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/千克，時(shí)間單位：天）

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道函數(shù)與圖象信息有關(guān)的綜合題．學(xué)生通過(guò)讀題、讀圖．從題目已知和圖象中獲取有價(jià)值的信息，是問(wèn)題求解的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)精練】

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．在函數(shù)y=，y=x+5，y=x²的圖象中是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)的有（  ）

    A．0個(gè)     B．1個(gè)     C．2個(gè)     D．3個(gè)

2．下列四個(gè)函數(shù)中，y隨x的增大而減少的是（  ）

    A．y=2x     B．y=-2x+5    C．y=-     D．y=-x²-2x-1

3．函數(shù)y=ax²-a與y=（a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（  ）

4．函數(shù)y=kx-2與y=（k≠0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（  ）

5．如圖是二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c和一次函數(shù)y₂=mx+n的圖象，觀察圖象寫(xiě)出y₂≥y₁時(shí)，x的取值范圍__________．

                   (第5題)                       (第6題)

6．（2006年旅順口）如圖是一次函數(shù)y₁=kx+b和反比例函數(shù)y₂=的圖象，觀察圖象寫(xiě)出y₁>y₂時(shí)，x的取值范圍是_________．

7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx+k，y=（k>0）的圖像大致是（  ）

8．（2005年太原市）在反比例函數(shù)y=中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y=kx²+2kx的圖像大致是（  ）

能力提升

9．如圖，已知反比例函數(shù)y₁=（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，1），一次函數(shù)y₂=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）與點(diǎn)A，且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B．

    （1）分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

10．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．已知OA=，tan∠AOC=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，-4）．

    （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求△AOB的面積．

11．（2005年揚(yáng)州市）近幾年，揚(yáng)州市先后獲得“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”和“全國(guó)生態(tài)建設(shè)示范城市”等十多個(gè)殊榮．到揚(yáng)州觀光旅游的客人越來(lái)越多，某景點(diǎn)每天都吸引大量游客前來(lái)觀光．事實(shí)表明，如果游客過(guò)多，不利于保護(hù)珍貴文物，為了實(shí)施可持續(xù)發(fā)展，兼顧社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，該景點(diǎn)擬采用浮動(dòng)門(mén)票價(jià)格的方法來(lái)控制游覽人數(shù)．已知每張門(mén)票原價(jià)40元，現(xiàn)設(shè)浮動(dòng)票價(jià)為x元，且40≤x≤70，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)一天游覽人數(shù)y與票價(jià)x之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

    （1）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）設(shè)該景點(diǎn)一天的門(mén)票收入為w元

       ①試用x的代數(shù)式表示w；

②試問(wèn)：當(dāng)票價(jià)定為多少時(shí)，該景點(diǎn)一天的門(mén)票收入最高？最高門(mén)票收入是多少？

12．（2006年荊門(mén)市）某環(huán)保器材公司銷(xiāo)售一種市場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元．經(jīng)銷(xiāo)過(guò)程中測(cè)出銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．每年銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支z（萬(wàn)元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.5．

    （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系．

    （2）試寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售該種產(chǎn)品年獲利w（萬(wàn)元）關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)z（元）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利=年銷(xiāo)售總金額-年銷(xiāo)售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)-年總開(kāi)支金額）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為x為何值，年獲利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售獲利不低于57.5萬(wàn)元，請(qǐng)你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)的范圍．在此條件下使產(chǎn)品的銷(xiāo)售量最大，你認(rèn)為銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)為多少元？

應(yīng)用與探究

13．（2006年濰坊市）為保證交通完全，汽車(chē)駕駛員必須知道汽車(chē)剎車(chē)后的停止距離（開(kāi)始剎車(chē)到車(chē)輛停止車(chē)輛行駛的距離）與汽車(chē)行駛速度（開(kāi)始剎車(chē)時(shí)的速度）的關(guān)系，以便及時(shí)剎車(chē)．下表是某款車(chē)在平坦道路上路況良好剎車(chē)后的停止距離與汽車(chē)行駛速度的對(duì)應(yīng)值表：

行駛速度（千米/時(shí)）

40

60

80

…

   停止距離（米）

16

30

48

…

    （1）設(shè)汽車(chē)剎車(chē)后的停止距離y（米）是關(guān)于汽車(chē)行駛速度x（千米/時(shí)）的函數(shù)．給出以下三個(gè)函數(shù)①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax²+bx，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)描述停止距離y（米）與汽車(chē)行駛速度x（千米/時(shí)）的關(guān)系，說(shuō)明選擇理由,并求出符合要求的函數(shù)的解析式；

    （2）根據(jù)你所選擇的函數(shù)解析式，若汽車(chē)剎車(chē)后的停止距離為70米，求汽車(chē)行駛速度．

答案:

例題經(jīng)典 

例1：解：設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=k₁x+b，則 解得k₁=-2，b=-6．

所以直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x-6．

∵點(diǎn)C（m，2）在直線(xiàn)y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0）都在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象只能經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-4，2），設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=．則2=，

∴k₂=-8．即經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=-．

例2：（1）設(shè)y=kx+b，∵x=4時(shí)，y=400；x=5時(shí)，y=320，

∴ 

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-80x+720．

（2）該班學(xué)生買(mǎi)飲料每年總費(fèi)用為50×120=6000（元），

當(dāng)y=380時(shí)，380=-80x+720，得x=4.25．

該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380×4.25+780=2395（元），

顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢(qián)少．

（3）設(shè)該班每年購(gòu)買(mǎi)純凈水的費(fèi)用為W元，

則W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）²+1620．

∴當(dāng)x=時(shí)，W_最大值=1620．要使飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算，

則50a≥W_最大值+780，即50a≥1620+780．解之得，a≥48．

所以a至少為48元時(shí)班級(jí)飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算，

由此看出，飲用桶裝純凈水不僅能省錢(qián)，而且能養(yǎng)成勤儉節(jié)約的好習(xí)慣．

例3：（1）設(shè)y₁=mx+n，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，5.1），（50，2.1），

∴  解得：m=-，n=5.1，

∴y₁=-x+5.1（0≤x≤50）．

（2）又由題目已知條件可設(shè)y₂=a（x-25）²+2．因其圖象過(guò)點(diǎn)（15，3），

∴3=a（15-25）²+2，∴a=，

∴y₂=x²-x+（或y=（x-25）²+2）（0≤x≤50）

（3）第x天上市的這種綠色蔬菜的純利潤(rùn)為：y₁-y₂=（x²-44x+315（0≤x≤55）．

依題意：y₁-y₂=0，即x²-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x₁=9，x₂=25．

所以從5月1日起的第9天或第35天出售的這種綠色蔬菜，既不賠本也不賺錢(qián)．

考點(diǎn)精練

1．B  2．B  3．A  4．B  5．-2≤x≤1  6．x>3或-2<x<0  7．D  8．D

9．（1）反比例函數(shù)解析式為y=，一次函數(shù)的解析式為y=x+3．

（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-1，2）

10．（1）反比例函數(shù)解析式為y=-，一次函數(shù)為y=-2x-3．

（2）S_△AOB=個(gè)平方單位．

11．（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，由圖象知：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)（50，3500），（60，3000）兩點(diǎn)．

則，

∴函數(shù)解析式為y=6000-50x．

（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x²+6000x．

②w=-50x²+6000x=-50（x²-120x）=-50（x-60）²+180000，

∴當(dāng)票價(jià)定為60元時(shí)，該景點(diǎn)門(mén)票收入最高，此時(shí)門(mén)票收入為180000元．

12．（1）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過(guò)點(diǎn)（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．

（2）由題意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x²+17x-642.5=-（x-85）²+80．

當(dāng)x=85時(shí)，年獲利的最大值為80萬(wàn)元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5，

整理，得x²-170x+7000=0．解得x₁=70，x₂=100．

由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷(xiāo)售單價(jià)為70元到100元之間．

又因?yàn)殇N(xiāo)售單位越低，銷(xiāo)售量越大，

所以要使銷(xiāo)售量最大，又使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為70元．

13．解：（1）若選擇y=ax+b，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以選擇y=ax+b不恰當(dāng)；

若選擇y=（k≠0），由x，y對(duì)應(yīng)值表看出y隨x的增大而增大．

而y=（k≠0）在第一象限y隨x的增大而減小，

所以不恰當(dāng)；若選擇y=ax²+bx，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得 ，而把x=80代入y=0.005x²+0.2x得y=48成立．

所以選擇y=ax²+bx恰當(dāng)，解析式為y=0.005x²+0.2．

（2）把y=70代入y=0.005x²+0.2x得70=0.005x²+0.2x，

即x²+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，當(dāng)停止距離為70米，汽車(chē)行駛速度為100千米/時(shí)．