正方形的性質(zhì)與判定

（1）(2008年沈陽市)如圖所示，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，則圖中全等三角形共有（  C  ）

A．1對(duì)              B．2對(duì)              C．3對(duì)              D．4對(duì)

（2）（2008年江蘇省無錫市）如圖，分別為正方形的邊，，，

上的點(diǎn)，且，則圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為（　A�。�

Ａ．         Ｂ．         Ｃ．         Ｄ．

（3）（2008廣州市）如圖2，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個(gè)正方形，那么新正方形的邊長(zhǎng)是（   C ）

  A      B  2    C     D

圖2

（4）(2008黑龍江哈爾濱)如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（  D  ）．

    （A）3cm（B）4cm

    （C）5cm（D）6cm

（5）(2008年天津市)如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若，，，則GF的長(zhǎng)為  3    ．      

（6）（2008佛山12）如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP = BC，

則∠ACP度數(shù)是  22.5 °       ．

（7）（2008佳木斯市9）下列各圖中，   ③       不是正方體的展開圖（填序號(hào)）．

（8）（2008湖北孝感）四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間空出的部  

分是一個(gè)小正方形，這樣就組成了一個(gè)“趙爽弦圖”（如圖）。如果小正方形

面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較小銳角為θ，那么=  0.6   。

。

（9）（2008四川內(nèi)江）如圖，在的矩形方格圖中，不包含陰影部分的矩形個(gè)數(shù)是          個(gè)．（14個(gè)）

11．（2008年山東省青島市）已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CG，連接BG并延長(zhǎng)交DE于F．

（1）求證：△BCG≌△DCE；

（2）將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形？并說明理由

解：（1）證明：∵四邊形為正方形

∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°

                ∵CG＝CE，

∴△BCG≌△DCE

（2）答：四邊形E′BGD是平行四邊形

理由：

∵△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′

∴CE＝AE′

∵CG＝CE

∴CG＝AE′

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴BE′＝DG，BE′∥DG，

∴四邊形E′BGD是平行四邊形  

12.（2008年江蘇省無錫市）如圖，已知是矩形的邊上一點(diǎn)，于，試說明：．

解法一：矩形中，，

，，

解法二：矩形中，

，，

．

20.（2008湖北襄樊）如圖12，B、C、E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形.連接BG、DE.

（1）觀察猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）在圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)指出，并說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（1）BG=DE

 ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，

∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）

∴△BCG≌△DCE

∴BG=DE

（2）存在. △BCG和△DCE

△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°與△DCE重合

23．（2008泰州市）在矩形ABCD中，AB=2，AD=．

（1）在邊CD上找一點(diǎn)E，使EB平分∠AEC，并加以說明；（3分）

（2）若P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=2CP，連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．

①求證：點(diǎn)B平分線段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．（4分）

解：（1）當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，EB平分∠AEC

由∠D=90⁰ ，DE=1，AD=，推得DEA=60⁰，

同理，∠CEB=60⁰ ，從而∠AEB=∠CEB=60⁰ ，即EB平分∠AEC

（2）① ∵CE∥BF

∴== ∴BF=2CE

∵AB=2CE，

∴點(diǎn)B平分線段AF

②能。

證明：∵CP=，CE=1，∠C=90⁰

∴EP=。

在Rt △ADE中，AE=  =2

∴AE=BF，

又∵PB=，

∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=90⁰ ，

∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照順時(shí)針方向繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到。

旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120⁰ 

28.（2008湖北黃岡）已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．

解：∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴  AD=CD  ,∠A=∠DCF=90⁰

又∵ DF⊥DE，

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3

∴ ∠1=∠2

在Rt△DAE和Rt△DCE中，

∠1=∠2

AD=CD

∠A=∠DCF

∴ Rt△DAERt△DCE

∴ DE=DF．

33. (2008黑龍江黑河)已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．

（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

.

 解：（1）成立．

如圖，把繞點(diǎn)順時(shí)針，得到，

則可證得三點(diǎn)共線（圖形畫正確）

證明過程中，

證得：

證得：

（2）

34.（2008廣東肇慶市）如圖5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上.

（1）求證AE=BF；

（2）若BC=cm，求正方形DEFG的邊長(zhǎng).

解：（1）∵  等腰Rt△ABC中，∠90°，

∴  ∠A＝∠B                                         

∵ 四邊形DEFG是正方形，

∴  DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°

∴  △ADE≌△BGF

∴  AE＝BF

（2）∵ ∠DEA＝90°，∠A=45°

∴ ∠ADE=45°

∴ AE＝DE．    同理BF＝GF

∴  EF＝AB===cm

∴ 正方形DEFG的邊長(zhǎng)為

36.（2008湖南益陽市） △ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上.

   Ⅰ.證明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ. 探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形.

小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答. 如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.

Ⅱa. 小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG就容易了.

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2 ，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化) .

Ⅱb. 小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫出正方形. 具體作法是：

         ①在AB邊上任取一點(diǎn)G’，如圖作正方形G’D’E’F’；

②連結(jié)BF’并延長(zhǎng)交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.

你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說明理由.

Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

             ∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°

             ∴△BDG≌△CEF(AAS)

    Ⅱa.解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，

求得

　　　　　　　　　　                  由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則

　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，

則

                    由勾股定理得：

                    解之得：

Ⅱb.解： 正確

            由已知可知，四邊形GDEF為矩形

                   ∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

                   又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF為正方形

38．（2008年上海市）如圖11，已知平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求證：四邊形是正方形．

證明：（1）四邊形是平行四邊形，

又是等邊三角形，

，即

平行四邊形是菱形

（2）是等邊三角形，

，

，

．

四邊形是菱形，

四邊形是正方形