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高三數(shù)學(xué)一模考試試題（理科）

山東省聊城一中郵編252000 王樹青適合高三年級(jí)人教A或B版皆可

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第Ⅰ卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).

1.給定下列結(jié)論：

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①已知命題p：；命題q：則命題“”是假命題；

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②“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件；

③命題“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；

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④函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù).

正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

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2.已知（其中為虛數(shù)單位），，則以下關(guān)系中正確的是（）

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A． B． C． D．

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3.給出下列四個(gè)命題，其中正確的一個(gè)是（）

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A．在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)，說(shuō)明預(yù)報(bào)變量對(duì)解釋變量的貢獻(xiàn)率是

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B．在獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，兩個(gè)變量的列聯(lián)表中對(duì)角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大，說(shuō)明這兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系成立的可能性就越大

C．相關(guān)指數(shù)R²用來(lái)刻畫回歸效果，R²越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越差

D．隨機(jī)誤差e是衡量預(yù)報(bào)精確度的一個(gè)量，它滿足E（e）=0

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4.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的（）

A．1

B．

C．

D．

5. 若，則函數(shù)上恰好有（）

A．0個(gè)零點(diǎn) B．1個(gè)零點(diǎn) C．2個(gè)零點(diǎn) D．3個(gè)零點(diǎn)

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6.如圖是一個(gè)幾何體的三示圖，該幾何體的體積是（）

A．

B．

C．

D．

7．在中，已知向量，，則的面積等于（）

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A． B． C． D．

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8．是的任一排列，是到的一一映射，且滿足，記數(shù)表.若數(shù)表的對(duì)應(yīng)位置上至少有一個(gè)不同，就說(shuō)是兩張不同的數(shù)表。則滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為（）

A．144 B．192 C．216 D．576

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9．兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是5，等比中項(xiàng)是4。若a＞b，則雙曲線的離心率e等于（）

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A． B． C． D．

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10. 已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件, 則的最大值為（）

A．-1 B．0 C．3 D．4

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11. 一支足球隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝（得3分）的概率為，與對(duì)手踢平（得1分）的概率為，負(fù)于對(duì)手（得0分）的概率為，已知該足球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽得分的期望是1，則的最小值為（）

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A． B． C． D．

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12．已知函數(shù)，定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的大致圖象為（）

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第Ⅱ卷（共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.

13．類比在平面幾何中關(guān)于角的命題“如果一個(gè)角的兩條邊與另一個(gè)角的兩條邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，寫出在空間中關(guān)于二面角相應(yīng)的一個(gè)命題；該命題是命題（填“真”或“假”）.

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14．在△ABC中，已知，則∠B的對(duì)邊b等于 .

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15．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于,, .

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16. 電視機(jī)的使用壽命顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān).某品牌電視機(jī)的顯像管開關(guān)了10000次還能繼續(xù)使用的概率是0.96，開關(guān)了15000次后還能繼續(xù)使用的概率是0.80，則已經(jīng)開關(guān)了10000次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率是 .

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三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

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設(shè)函數(shù)

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（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

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（II）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，的圖象、軸的正半軸及軸的正半軸三者圍成圖形的面積.

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18．（本題滿分12分）

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某校有一貧困學(xué)生因病需手術(shù)治療，但現(xiàn)在還差手術(shù)費(fèi)萬(wàn)元，團(tuán)委計(jì)劃在全校開展愛(ài)心募捐活動(dòng)，為了增加活動(dòng)的趣味性吸引更多學(xué)生參與，特舉辦“搖獎(jiǎng)100%中獎(jiǎng)”活動(dòng).凡捐款10元者，享受一次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如圖是搖獎(jiǎng)機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖，搖獎(jiǎng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)盤是均勻的，扇形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心角的比值分別為1：2：3：4：5.相應(yīng)區(qū)域分別設(shè)立一、二、三、四、五等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品分別為價(jià)值分別為5元、4元、3元、2元、1元的學(xué)習(xí)用品.搖獎(jiǎng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤片刻，待停止后，固定指針指向哪個(gè)區(qū)域（邊線忽略不計(jì)）即可獲得相應(yīng)價(jià)值的學(xué)習(xí)用品（如圖指針指向區(qū)域，可獲得價(jià)值3元的學(xué)習(xí)用品）.

（Ⅰ）預(yù)計(jì)全校捐款10元者將會(huì)達(dá)到1500人次，那么除去

購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)后，剩余款項(xiàng)是否能幫助該生完成手術(shù)治療？

（II）如果學(xué)生甲捐款20元，獲得了兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得價(jià)

值6元的學(xué)習(xí)用品的概率.

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19．（本小題滿分12分）

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如圖，在四棱臺(tái)ABCD―A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是邊長(zhǎng)

為2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，

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側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2.

（Ⅰ）求證：平面；

（II）（理）求二面角的余弦值.

（文）求證：平面⊥平面B₁BDD₁.

20．（本小題滿分12分）

過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)；依此下去，得到一系列點(diǎn)，，；設(shè)它們的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列為.

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（II）求證：；

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（III）當(dāng)時(shí)，令求數(shù)列的前項(xiàng)和.

21．（本題滿分12分）

設(shè).

（Ⅰ）確定的值，使的極小值為0；

（II）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的極大值為3.

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22.（本小題滿分12分）

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已知橢圓：的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

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（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

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（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍。

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).

（1）C （2）B （3）D （4）C （5）B （6）B

（7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.

13. 如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ) 假

14.

15. 0

16.

三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）………2分

………4分

………6分

（II）

………8分

的圖象與x軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為 ………10分

所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積

= …12分

18．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為.

則其概率分別為……3分

設(shè)搖獎(jiǎng)一次支出的學(xué)習(xí)用品相應(yīng)的款項(xiàng)為，則的分布列為：

.………6分

若捐款10元者達(dá)到1500人次，那么購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)為（元）,

除去購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的款項(xiàng)后，剩余款項(xiàng)為（元）,

故剩余款項(xiàng)可以幫助該生完成手術(shù)治療. ………8分

（II）記事件“學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品”為，則.

即學(xué)生甲捐款20元獲得價(jià)值6元的學(xué)習(xí)用品的概率為………12分

19．（本小題滿分12分）

以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）. … 3分

（Ⅰ）證明：設(shè)則有所以，，∴平面；………6分

（II）解：

設(shè)為平面的法向量，

于是………8分

同理可以求得平面的一個(gè)法向量，………10分

∴二面角的余弦值為. ………12分

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，切點(diǎn)是的切線方程是.…2分

當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得;

當(dāng)時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)，即，得.

所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.………4分(文………6分)

（II）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得

………8分

（III）

當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和=

同乘以，得=兩式相減，………10分（文………8分）

得=，

所以=.………12分

21．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）由于所以

………2分

令,

當(dāng)a=2時(shí)，

所以2－a≠0.

① 當(dāng)2－a>0，即a<2時(shí)，的變化情況如下表1：

(0,2－a)

2－a

(2－a,+∞)

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時(shí)應(yīng)有f(0)=0，所以a=0<2；

②當(dāng)2－a<0，即a>2時(shí)，的變化情況如下表2：

2－a

(2－a,0)

(0,+∞)

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時(shí)應(yīng)有

而

綜上可知，當(dāng)a=0或4時(shí)，的極小值為0. ………6分

（II）若a<2，則由表1可知，應(yīng)有也就是

設(shè)

由于a<2得

所以方程無(wú)解. ………8分

若a>2，則由表2可知，應(yīng)有f(0)=3，即a=3. ………10分

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f(x)的極大值為3. ………12分

22.（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由得，；……4分

由直線與圓相切，得，所以，。所以橢圓的方程是.……4分

（II）由條件知，，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線：的距離，由拋物線的定義得點(diǎn)的軌跡的方程是. ……8分

（III）由（2）知，設(shè)，，所以，.

由，得.因?yàn)?sub>，化簡(jiǎn)得，……10分

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）. ……12分

，又

所以當(dāng)，即時(shí)，，故的取值范圍是.……14分

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