江蘇省蘇北四市2009屆高三第三次調(diào)研考試

       數(shù)學(xué)試題                    2009．3.31

注意事項(xiàng)：

1．本試卷分填空題和解答題兩部分，共160分．考試用時(shí)120分鐘．

2．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)寫(xiě)在答題紙的密封線內(nèi)．答題時(shí)，填空題和解答題的答案寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的空格內(nèi)，答案寫(xiě)在試卷上無(wú)效．本卷考試結(jié)束后，上交答題紙．

3．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．

4．文字書(shū)寫(xiě)題統(tǒng)一使用0.5毫米及0.5毫米以上簽字筆．

5．作圖題可使用2B鉛筆，不需要用簽字筆描�。�

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分. 不需寫(xiě)出解答過(guò)程．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答案卷上.

1、已知集合若，則實(shí)數(shù)m的值為             

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2、若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為        

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3、一個(gè)幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形，其俯視圖是直徑為的圓，則該幾何體的表面積為              

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4、如圖，給出一個(gè)算法的偽代碼，

   Read    x

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  If  

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則           

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5、已知直線的充要條件是a=       

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6、高三（1）班共有56人，學(xué)號(hào)依次為1，2，3，┅，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)為6，34，48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為  

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7、在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對(duì)其中2道題即為及格，若一位考生只會(huì)答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為     

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8、設(shè)方程        

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9、已知函數(shù)的值為      

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10、已知平面區(qū)域，若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為     

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11、已知拋物線到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a=    

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12、已知平面向量的夾角為，           

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13、函數(shù)上的最大值為        

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14、如圖，將平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按如下規(guī)則表上數(shù)字標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)0，點(diǎn)（1，0）處標(biāo)1，點(diǎn)（1，-1）處標(biāo)2，點(diǎn)（0，-1）處標(biāo)3，點(diǎn)（-1，-1）處標(biāo)4，點(diǎn)（-1，0）標(biāo)5，點(diǎn)（-1，1）處標(biāo)6，點(diǎn)（0，1）處標(biāo)7，以此類推，則標(biāo)簽的格點(diǎn)的坐標(biāo)為                 

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二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15．（本題滿分14分）

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在斜三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且.

(1)求角A；

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(2)若，求角C的取值范圍。

 

 

 

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16．（本題滿分14分）

在在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：

（1）平面BDO⊥平面ACO；

（2）EF//平面OCD.

 

 

 

 

 

 

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17、（本題滿分14分）

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  已知圓O的方程為且與圓O相切。

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（1）求直線的方程；

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（2）設(shè)圓O與x軸交與P,Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為，直線PM交直線于點(diǎn)，直線QM交直線于點(diǎn)。求證：以為直徑的圓C總過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

 

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18、（本題滿分16分）

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  有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定。大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長(zhǎng)l(m)的關(guān)系滿足：（k為正的常數(shù)），假定車身長(zhǎng)為4m，當(dāng)車速為60（km/h)時(shí)，車距為2.66個(gè)車身長(zhǎng)。

（1）寫(xiě)出車距d關(guān)于車速v的函數(shù)關(guān)系式;

（2）應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時(shí)通過(guò)的車輛最多？

 

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19、（本題滿分16分）

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 已知函數(shù)

（1）試求b,c所滿足的關(guān)系式；

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（2）若b=0，方程有唯一解，求a的取值范圍；

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（3）若b=1，集合，試求集合A.

 

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20、（本題滿分16分）

 

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已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d>0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個(gè)實(shí)數(shù)后，所得到的m+3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為q.

(1)若a=1,m=1,求公差d；

(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m個(gè)數(shù)的乘積（用a,c,m表示）

(3)求證：q是無(wú)理數(shù)。

 

 

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中點(diǎn)，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點(diǎn)，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直線過(guò)點(diǎn)，且與圓：相切，

設(shè)直線的方程為，即，　…………………………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即． …… …………………4分

（2）對(duì)于圓方程,令，得,即．又直線過(guò)點(diǎn)且與軸垂直，∴直線方程為，設(shè)，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需令，從而有，解得，

∴圓總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為． …………………………………………… 14分

18．⑴因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵設(shè)每小時(shí)通過(guò)的車輛為，則．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值．

答：當(dāng)時(shí)，大橋每小時(shí)通過(guò)的車輛最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所滿足的關(guān)系式為．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化為，

令，則由題意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

當(dāng)時(shí)，由，可知是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，由，可知是減函數(shù)．故當(dāng)時(shí)，取極大值．………6分

由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解．

故所求的取值范圍是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)（），；當(dāng)時(shí)，且；

當(dāng)時(shí)，∪． ………………………16分

注：可直接通過(guò)研究函數(shù)與的圖象來(lái)解決問(wèn)題．

20．（1）由，且等差數(shù)列的公差為，可知，

若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，

消去可得，其正根為． ………………………………2分

若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，

消去可得，此方程無(wú)正根．故所求公差．………4分

（2）設(shè)在之間插入個(gè)數(shù)，在之間插入個(gè)數(shù)，則，在等比數(shù)列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都為奇數(shù)，∴可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)．

①若為正數(shù)，則…，所插入個(gè)數(shù)的積為；

②若為負(fù)數(shù)，…中共有個(gè)負(fù)數(shù)，

當(dāng)是奇數(shù)，即N*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)是偶數(shù)，即N*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．

綜上所述，當(dāng)N*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)N*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．…………10分

注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進(jìn)行求解．

（3）∵在等比數(shù)列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假設(shè)是有理數(shù)，若為整數(shù)，∵是正數(shù)，且，∴，

在中，∵是的倍數(shù)，故1也是的倍數(shù)，矛盾．

若不是整數(shù)，可設(shè)（其中為互素的整數(shù)，），

則有，即，

∵，可得，∴是x的倍數(shù)，即是x的倍數(shù)，矛盾．

∴ 是無(wú)理數(shù)．……………………………………16分

 

 

附加題部分

21B．設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，在矩陣A變換下得到另一點(diǎn)，

則有，…………………………………………………………4分

即      ∴…………………………………8分

又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上，所以，

故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分

21C．將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      …………………4分

直線方程的普通方程為，                       ………………6分

圓的圓心到直線的距離，………………………………………………………8分

故所求弦長(zhǎng)為．   ………………………………………………10分

21D．由柯西不等式可得

 ．…10分

22．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 以分別為軸,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè) 則

,∴ ,


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