2009屆高考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)精編模擬五

參考公式：

如果事件互斥，那么                                   球的表面積公式

                                   

如果事件相互獨(dú)立，那么                            其中表示球的半徑

                                         球的體積公式

如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么         

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率           其中表示球的半徑

第一部分 選擇題（共50分）

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、設(shè)為全集，是的三個非空子集，且，則下面論斷正確的是  （    ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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（A）； （B）；

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（C）；（D）.

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2、已知、是非零向量且滿足(－2) ⊥，(－2) ⊥，則與的夾角是       （      ）

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           (A).      (B)       (C).       (D).

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3、已知，則等于 （      ）

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      A、     B、      C、       D、　　

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4、已知，為常數(shù)，且，則函數(shù)必有一周期為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（   ）

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A、2                       B、3                 C、4                        D、5

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5、交于A、B兩點(diǎn)，且，則直線AB的方程為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　�。�

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A、                                      B、

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C、                                      D、

 

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6、我國儲蓄存款采取實(shí)名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲蓄點(diǎn)代扣代收。某人在2001年9月存入人民幣1萬元，存期一年，年利率為2.25%，到期時凈得本金和利息共計(jì)10180元，則利息稅的稅率是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�   ）

A、8%                       B、20%                C、32%               D、80%

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7、不等式的解集是（   ）

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A、      B、　　C、{4，5，6}    D、{4，4.5，5，5.5，6}

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8、七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是（   ）

（A） 1440       （B） 3600         （C） 4320          （D） 4800

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9、若關(guān)于的方程只有一個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（    ）

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A、=0             B、=0或>1   

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C、>1或<-1      D、=0或>1或<-1

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10、一個四面體的所有棱長都為，四個項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（   ）

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（A）3         （B）4     （C）3     （D）6

第二部分 非選擇題（共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．每小題5分，滿分20分．

11、已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是      。

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12、有些計(jì)算機(jī)對表達(dá)式的運(yùn)算處理過程實(shí)行“后綴表達(dá)式”：運(yùn)算符號緊跟在運(yùn)算對象的后面，按照從左到右的順序運(yùn)算，如表達(dá)式，其運(yùn)算為：，若計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算：，那么使此表達(dá)式有意義的的范圍為 _____________ ．

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13、若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是　　　　　　　（只需寫出一個可能的值）．

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14、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到直線：的距離是　       　　　．

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15．(幾何證明選講選做題) 如圖，圓 O 的割線 PBA 過圓心 O，弦 CD 交 PA 于點(diǎn)F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，則PF =            。

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三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

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已知命題：方程有兩個不等的負(fù)實(shí)根；：方程無實(shí)根．若“或”為真，“且”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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在△ABC中，已知 ．

(1)　求AB邊的長度；

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(2)證明：；

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（3）若,求．

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線方程為，其中為常數(shù).

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（Ⅰ）函數(shù)是否存在單調(diào)減區(qū)間？若存在，則求出單調(diào)減區(qū)間（用表示）；

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（Ⅱ）若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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如圖，四棱錐S―ABCD的底面是邊長為1的正方形，

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SD垂直于底面ABCD，SB=.

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   （I）求證BCSC；

   （II）求面ASD與面BSC所成二面角的大��；

   （III）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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設(shè)圓過點(diǎn)P(0,2), 且在軸上截得的弦RG的長為4.

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 (１)求圓心的軌跡E的方程；                                                                             

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(２)過點(diǎn)(０，１)，作軌跡的兩條互相垂直的弦、，設(shè)、 的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由．

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）

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所表示的平面區(qū)域?yàn)?sub>，記內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均

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為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為.

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（Ⅰ）求并猜想的表達(dá)式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

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（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和,

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是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，

求出m的值，若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

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一．選擇題：CBDCC BDBDA

解析：1: 由文氏圖可得結(jié)論（C）.

2：由已知得：(－2)=0，(－2) =0；即得：==2，∴cos<，>=，∴選(B)

 

3：由于受條件sin2θ+cos2θ=1的制約，故m為一確定的值，于是sinθ,cosθ的值應(yīng)與m的值無關(guān)，進(jìn)而推知tan的值與m無關(guān)，又<θ<π，<<,∴tan>1，故選D。

4：由于，從而函數(shù)的一個背景為正切函數(shù)tanx，取，可得必有一周期為4。故選C。

 

5：解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線AB的方程就是，它過定點(diǎn)（0，2），只有C項(xiàng)滿足。故選C。

 

6：生活常識告訴我們利息稅的稅率是20%。故選B。

 

7：四個選項(xiàng)中只有答案D含有分?jǐn)?shù)，這是何故？宜引起高度警覺，事實(shí)上，將x值取4.5代入驗(yàn)證，不等式成立，這說明正確選項(xiàng)正是D，而無需繁瑣地解不等式。

 

8：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：－2×＝3600，對照后應(yīng)選B；

9:作直線的圖象和半圓,從圖中可以看出: 的取值范圍應(yīng)選(D).

注:求與方程實(shí)數(shù)根個數(shù)有關(guān)的問題常用圖解法.

10：如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)形成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑R＝.故S球＝3.

 

 

 

 

二．填空題：11、；  12、； 13、或或；

14、＋1；  15、3；

解析：11：，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，∴，∴。

　12：計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算：時，它表示的表達(dá)式是，當(dāng)其有意義時，得，解得．

13： 本題是一道很好的開放題，解題的開竅點(diǎn)是：每個面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計(jì)算出這三個四面體的體積分別為： , ,，故應(yīng)填.、 、 中的一個即可.

14.解：直線：化為一般方程：，點(diǎn)P化為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為

15解：由△COF∽△PDF得，即=

==，即=，

解得，故=3

三．解答題：

16.解：當(dāng)P為真時，有   ……4分

 當(dāng)Q為真時，有  ……5分

            ……6分

由題意:“P或Q”真，“P且Q”為假 等價(jià)于                         

（1）P真Q假：           ……8分

（2）Q真P假：     ……11分                  

綜合（1）（2）的取值范圍是 　……12分

17.解：（1）∵∴

∵   ∴, 即AB邊的長度為  ……………………3分

(2)　由 得-------------①

  即-------------②

由①②得,   由正弦定理得

∴    ∴-- ……………………8分

(3) ∵，由（2）中①得  由余弦定理得= 

∴=- ……………………12分

18．解：（Ⅰ），，     ……………1分

由題意，知，，

即                                    ……………………2分

               …………………3分

①     當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，

不存在單調(diào)減區(qū)間；                                       ……………………5分

②     當(dāng)時，，有

+

-

+

當(dāng)時，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，為         ……………7分

③     當(dāng)時， ，有

+

-

+

當(dāng)時，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，為           …………9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，

            …………………10分

設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，則，

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，

（或     ）

點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.

由點(diǎn)的任意性知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.          …………………14分

19． [方法一]：（幾何法）

（I）證法一：如圖1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               

由三垂線定理得BC⊥SC. …………3分

證法二：如圖1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.          

∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                     圖1

∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………3分

（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，

∴可把四棱錐S―ABCD補(bǔ)形為長方體A1B1C1S―ABCD，

如圖2，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC//A1S， ∴SC⊥A1S，

又SD⊥A1S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分

解法二：如圖3，過點(diǎn)S作直線*在面ASD上，

∵底面ABCD為正方形，在面BSC上，

*為面ASD與面BSC的交線.

∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

 由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角

為 45°�！�8分

（III）解法一：如圖3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA是等腰直角三角形.

又M是斜邊SA的中點(diǎn)，  ∴DM⊥SA. 

∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

由三垂線定理得DM⊥SB.  ∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分

解法二：如圖4，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP.

在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，是異面直線DM與SB所成的角.

，

又

∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2， 

即異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………14分

[方法二]：（向量法）

解析：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

M（，0，），

∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分

（I）證明：∵　 ，

=0   ∴　，即BCSC．……………5分

（II）設(shè)二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個法向量為，設(shè)平面BSC的法向量為，由，

得，

∴　面ASD與面BSC所成的二面角為45°．……………10分

（III）設(shè)異面直線DM與SB所成角為α，

∵　，SB=(-1,-1,1),得

∴　異面直線DM與SB所成角為90°．……………14分

20.解：(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，如圖過圓心作軸于H,

則H為RG的中點(diǎn)，在中，…3分

∵ ∴  

即  …………………6分

 (2) 設(shè)，

直線AB的方程為（）則-----①---②

由①－②得，∴，………………9分

∵點(diǎn)在直線上， ∴．

∴點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為． ………………10分

同理可得：, ,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． ………………11分

直線的斜率為，其方程為

，整理得，………………13分

顯然，不論為何值，點(diǎn)均滿足方程，

∴直線恒過定點(diǎn)．……………………14分

 

21.解：（Ⅰ）當(dāng)n＝1時，D1為Rt△OAB1的內(nèi)部包括斜邊，這時，

        當(dāng)n＝2時，D2為Rt△OAB2的內(nèi)部包括斜邊，這時，

        當(dāng)n＝3時，D3為Rt△OAB3的內(nèi)部包括斜邊，這時，……， ---3分

由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(1)  當(dāng)n＝1時，猜想顯然成立。

(2)  假設(shè)當(dāng)n＝k時，猜想成立，即，（） ----5分

如圖，平面區(qū)域為Rt內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域為

Rt△內(nèi)部包括斜邊，∵平面區(qū)域比平面區(qū)域多3

個整點(diǎn)， ------- 7分            

 即當(dāng)n＝k+1時，，這就是說當(dāng)n＝k+1時，

猜想也成立，

由（1）、（2）知＝3n對一切都成立。 ---------------------8分

（Ⅱ）∵＝3n,   ∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列,

∴.

  -------------------------10分

    == -------------------------------11分

∵對一切，恒成立,   ∴

∵在上為增函數(shù) ∴ ---13分

，滿足的自然數(shù)為0，

∴滿足題設(shè)的自然數(shù)m存在，其值為0。 -------------------------14分


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