圖5

（3）延長AB到H，使BH ＝OB．求證：CH是⊙O的切線．               　  

分析：（1）只要證即可，（2）要判斷是梯形，只要說明DC∥AB即可，注意到已知條件中數(shù)量關(guān)系較多，考慮從邊相等的角度來說明：先求DC，再說明OBCD是菱形（3）要證明“CH是⊙O的切線”，只要證明∠OCH=即可.

解：（1）因?yàn)镃是劣弧的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椤螪CE=∠ACD，

所以∽．　                 

（2）四邊形ABCD是梯形.

證明：連接，由⑴得.因?yàn)?sub>，所以　．由已知.因?yàn)?sub>是⊙O的直徑， 所以　，所以．所以. 所以.　所以四邊形OBCD是菱形．所以，　所以四邊形ABCD是梯形．

過C作CF垂直AB于點(diǎn)F，連接OC，則，所以．

所以 CF=BC×sin60=1.5.

所以．

（3）證明：連接OC交BD于點(diǎn)G，由（2）得四邊形OBCD是菱形，

所以且．又已知OB＝BH　，所以BH平行且等于CD.所以四邊形BHCD是平行四邊形.所以．  所以.　所以CH是⊙O的切線．

 特別提示：在推理時(shí)，有時(shí)可能需要借助于計(jì)算來幫助證明，比如本題中證明DC∥AB.

跟蹤練習(xí)2.

（2007四川綿陽）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC = 60°，

P是OB上一點(diǎn)，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點(diǎn)Q，

過點(diǎn)C的切線CD交PQ于D，連結(jié)OC．

（1）求證：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

參考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，∴ ∠Q = 30°，∠BCO = ∠ABC = 30°．

∵ CD是⊙O的切線，CO是半徑，∴ CD⊥CO，∴ ∠DCQ =30°，∴ ∠DCQ =∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）設(shè)⊙O的半徑為1，則AB = 2，OC = 1，AC = ABㄍ2 = 1，BC =．

∵△CDQ≌△COB，∴ CQ = BC =．于是 AQ = AC + CQ = 1 +，

進(jìn)而 AP = AQㄍ2 =（1 +）ㄍ2，∴ BP = AB－AP =（3－）ㄍ2，

PO = AP－AO =（－1）ㄍ2，∴ BP:PO =．

類型3.  含統(tǒng)計(jì)（或概率）的代數(shù)（或幾何）綜合題

這類題通常為知識(shí)串聯(lián)型試題，因此只要逐個(gè)擊破即可.

例3．（2007?江西）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫著如圖所示的圖形，活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式：

①        ②     ③        ④

小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再從剩下的紙片中隨機(jī)抽取另一張．請結(jié)合圖形解答下列兩個(gè)問題：

（1）當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①，②作為條件能判定

是等腰三角形嗎？說說你的理由；

（2）請你用樹形圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有

可能出現(xiàn)的結(jié)果（用序號(hào)表示），并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片

上的等式為條件，使不能構(gòu)成等腰三角形的概率．

分析：（1）只要說明BE=CE即可，從而考慮證明.（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根據(jù)概率定義即可得解.                                               

解：（1）能．理由：由，，，

得．.是等腰三角形．

（2）樹形圖：

先抽取的紙片序號(hào)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

抽取的兩張紙片上的等式有12種等可能性結(jié)果，其中不能構(gòu)成等腰三角形的有4種（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使不能構(gòu)成等腰三角形的概率為．

 特別提示：不能得到“”有兩種情形，一是“邊邊角”不能得全等，二是只能得到相似.

跟蹤練習(xí)3.（2007 遼寧沈陽）．如圖所給的A、B、C三個(gè)幾何體中，按箭頭所示的方向?yàn)樗鼈兊恼�面，設(shè)A、B、C三個(gè)幾何體的主視圖分別是A₁、B₁、C₁；左視圖分別是A₂、B₂、C₂；俯視圖分別是A₃、B₃、C₃．

（1）請你分別寫出A₁、A₂、A₃、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃圖形的名稱；

（2）小剛先將這9個(gè)視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫有A₁、A₂、A₃的三張卡片放在甲口袋中，畫有B₁、B₂、B₃的三張卡片放在乙口袋中，畫有C₁、C₂、C₃的三張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機(jī)從這三個(gè)口袋中分別抽取一張卡片．

① 通過補(bǔ)全下面的樹狀圖，求出小亮隨機(jī)抽取的三張卡片上的圖形名稱都相同的概率；

② 小亮和小剛做游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：在小亮隨機(jī)抽取的三張卡片中只有兩張卡片上的圖形名稱相同時(shí)，小剛獲勝；三張卡片上的圖形名稱完全不同時(shí)，小亮獲勝．這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？

解：（1）         Ａ　　　　　�。隆　　　　　。�

（2）①樹狀圖：

參考答案：3（1）由已知可得A₁、A₂是矩形，A₃是圓；B₁、B₂、B₃都是矩形；

C₁是三角形，C₂、C₃是矩形．　

（2）①補(bǔ)全樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有27種等可能結(jié)果，其中三張卡片上的圖形名稱都相同的結(jié)果有12種，∴三張卡片上的圖形名稱都相同的概率是＝ 

②游戲?qū)﹄p方不公平．由①可知， P_{（小剛獲勝）}＝。三張卡片上的圖形名稱完全不同的概率是，即P_{（小亮獲勝）}＝，這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．　

類型4.  圖形中的函數(shù)(方程）

這類題通常需要利用方程與函數(shù)的思想來處理，具體的說，往往通過線段成比例或者面積公式等來建立關(guān)系式，再通過解方程或者利用函數(shù)性質(zhì)來得到解決.

例4．（2007?山西臨汾）如圖，已知正方形與正方形的邊長分別是和，它們的中心都在直線上，，在直線上，與相交于點(diǎn)，，當(dāng)正方形沿直線 以每秒1個(gè)單位的速度向左平移時(shí)，正方形也繞以每秒順時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．

（1）在開始運(yùn)動(dòng)前，         ；

（2）當(dāng)兩個(gè)正方形按照各自的運(yùn)動(dòng)方式同時(shí)

運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，正方形停止旋轉(zhuǎn)，這時(shí)

          ，         ；

（3）當(dāng)正方形停止旋轉(zhuǎn)后，正方形繼續(xù)向左平移的時(shí)間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式．

分析:（1）,,所以（2）運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，,此時(shí)A點(diǎn)落在上，所以AE==0,（3）重疊部分是正方形，只要用x表示出其邊長即可，注意到不同情況下，邊長的表示不一樣，從而需要討論.

解：（1）9．（2）0，     6．

（3）當(dāng)正方形停止運(yùn)動(dòng)后，正方形繼續(xù)向左平移時(shí)，與正方形重疊部分的形狀也是正方形．重疊部分的面積與之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：

①如圖1，當(dāng)時(shí)，，與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

②如圖2，當(dāng)4≤x≤8時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為y=8．

③如圖3，當(dāng)8<x<12時(shí)，，與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

④當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

 特別提示：（1）本題也是變換型試題，計(jì)算與證明時(shí)要抓住變換中不變的元素（比如角相等，邊相等，圖形全等，等）來進(jìn)行處理，如果直角比較多，還可從相似、三角函數(shù)、勾股定理角度來建立數(shù)量關(guān)系.（2）對于圖形變化中分段函數(shù)的問題，可以從圖形特征角度來分別討論，以力求解答完備.

跟蹤練習(xí)4（2007?河北）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA^-AD^-DC以每秒5個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD^-DA^-AB于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值，并指出此時(shí)BQ的長；   

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí)，t為何值能使P Q∥DC？

（3）設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)到CD、DA上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）

（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

參考答案：

4：（1）t =35（秒）時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C． BQ的長為135－105=30．                    

（2）若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t，得50＋75－5t=3t，

解得t=．當(dāng)t=時(shí)，有PQ∥DC．

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S=S_ㄓQCE =QE?QC=6t²；

②當(dāng)點(diǎn)E在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)， S= S_梯形QCDE =(ED＋QC)DH ==120 t－600．   

（4）       △PQE能成為直角三角形．當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí)，t的取值范圍是0＜t≤25且t

≠或t=35．                                                                                                                 

跟蹤練習(xí)5（2007江蘇揚(yáng)州）如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）若厘米，秒，則______厘米；

（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們的相似比；

（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

參考答案：5、（1），（2），使，相似比為

（3）△AMP∽△ABN可得PM=， ，化簡,得，3＜a≤6.

（4）梯形的面積與梯形的面積相等即可， ，把代入，解得（舍負(fù)值）．

類型5.   拋物線中的圖形

一般而言，這類題多為壓軸題，解答基本思路仍然為分析與綜合.除了需要靈活運(yùn)用代數(shù)與幾何核心知識(shí)外，還要注意應(yīng)用分類、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想方法.

例5 （2007?河南）如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E（，）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

 ①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

分析：（1）利用待定系數(shù)法可以求出拋物線解析式，（2）利用平行四邊形OEAF的面積公式來建立函數(shù)關(guān)系式.①判斷OEAF是否為菱形，關(guān)鍵是看能否由已知條件得到鄰邊相等，即需要將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，②假設(shè)存在符合條件的 E，考慮先滿足條件“使得OEAF為正方形”，再看能否滿足另外條件“在拋物線上”.

解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設(shè)解析式為．把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得故拋物線解析式為，頂點(diǎn)為

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，

所以y<0，即 －y>0,－y表示點(diǎn)E到OA的距離．因?yàn)镺A是的對角線，

所以.

因?yàn)閽佄锞�與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：x_1=1，x₂₌6.又點(diǎn)E在第四象限，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)小于0，所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)1<x<6.

．的取值范圍是1＜＜6．

①     根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時(shí)，即．  解得故所求的點(diǎn)E

有兩個(gè)，分別為E₁（3，－4），E₂（4，－4）．點(diǎn)E₁（3，－4）滿足OE = AE，所以是菱形；點(diǎn)E₂（4，－4）不滿足OE = AE，所以不是菱形．

②     當(dāng)OA⊥EF，且OA = EF時(shí)，是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，－3）．

而坐標(biāo)為（3，－3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使為正方形．

 特別提示：需要同時(shí)滿足幾個(gè)條件時(shí)，不妨先滿足其中部分，再看是否滿足其它條件.

跟蹤練習(xí)6（2007遼寧沈陽）．已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求此拋物線的表達(dá)式；

（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，

連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

參考答案：

6、（1）點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)A（－6，0），（2）拋物線的表達(dá)式為y＝－x²－x＋8　，（3）由＝　，因?yàn)锳C==10，BE=8-m，AB=8.所以EF＝.

作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=.所以在Rt△EGF中， FG＝EF?sin∠FEG=?=8-m，所以S＝=-=－m²＋4m， m的取值范圍是0＜m＜8　　

（4）存在．因?yàn)镾＝－m²＋4m，又a= <0，當(dāng)m===4時(shí)，=8.因?yàn)閙=4，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0），

△BCE為等腰三角形．