湖南省衡陽(yáng)市祁東縣育賢中學(xué)高三文科數(shù)學(xué)試題（2007年2月）
（按全國(guó)卷文科格式加以改編）
湖南省衡陽(yáng)市祁東縣育賢中學(xué) 高明生 （421600）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至12題。第Ⅱ卷13至22題。
參考公式：
如果時(shí)間A、B互斥，那么
如果時(shí)間A、B相互獨(dú)立，那么
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
球的表面積公式
，其中R表示球的半徑
球的體積公式
，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷
本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
一、選擇題
1．已知：
是
的（ ）
A．充分不必要條件 B。必要不充分條件 C．充要條件 D。既不充分也不必要條件
2．點(diǎn)
在曲線
上移動(dòng)，在點(diǎn)處的切線的傾斜角為
，則的取值范圍是（ ）
3．已知函數(shù)
是奇函數(shù)，則（ ）
A．
B。
C。且
D。或
4．向量
，若
與
共線（其中
且
），則
等于（ ）
A．
B。
D。
5．對(duì)于實(shí)數(shù)
，符號(hào)
表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如
，定義函數(shù)
，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B。方程
有且僅有一個(gè)解
C。函數(shù)
是周期函數(shù)
D。函數(shù)是增函數(shù)
6．設(shè)
為橢圓
的離心率，且
，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為（ ）
7．已知
是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
設(shè)
，則
、
、
的大小關(guān)系為（ ）
8．線段AB長(zhǎng)為2，兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面上，AB和兩個(gè)面所成的角分別是
和
，那么點(diǎn)A、B在這個(gè)二面角的棱上的射影C、D間的距離是（ ）
A．1 B。
C。2 D。
9．已知非零向量
與
滿足
且
，則
為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B。直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D。等邊三角形
10．函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如下圖：
則函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象可能為（ ）
A B C D
11．．由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．給出下列四個(gè)命題：
①若函數(shù)
在區(qū)間
為減函數(shù)，則
；
②函數(shù)
的定義域是
；
③當(dāng)
；
④若M是圓
上的任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)M關(guān)于
的對(duì)稱點(diǎn)
也在該圓上。
所有正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①④ B。②④ C。①③ D。③④
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。
本卷共10小題，共90分。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．
上一點(diǎn)（非原點(diǎn)），在處引切線交
軸于
則
= 。
14．正四棱錐S―ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，過(guò)球心O的一個(gè)截面如圖，棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，則球心O到側(cè)面SAB的距離為
。
15．二項(xiàng)式
的展開(kāi)式中
的系數(shù)為
。
16．如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖所示，給出下列判斷：
①函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增；
②函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減；
③函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增；
④當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有極小值；
⑤當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有極大值；
則上述判斷中正確的是 。
（17）（本小題滿分12分）求由正整數(shù)組成的集合S，使S中的元素之和等于元素之積。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
（18）（本小題滿分12分）已知、為非負(fù)數(shù)，
求
的最值。
（19）（本小題滿分12分）過(guò)正方體
的8個(gè)頂點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的直線，與平面
垂直的直線條數(shù)有多少？并加以證明。
（20）。（本小題滿分12分）湖南是勞務(wù)輸出大省，據(jù)勞動(dòng)村村長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)，第一季度，勞動(dòng)村有
的農(nóng)民在外打工，第二季度，勞動(dòng)村有
的農(nóng)民在外打工，第三季度，勞動(dòng)村有
的農(nóng)民在外打工，第四季度，勞動(dòng)村有
的農(nóng)民在外打工，問(wèn)勞動(dòng)村至少有百分之幾的農(nóng)民全年在外打工？
（21）、（本小題滿分14分）兩根等長(zhǎng)的繩子掛一個(gè)物體,繩子受到的拉力大小為
，物體的重量為
，兩繩子間的夾角為
。
① 求繩子受到的拉力大小與兩繩子間的夾角的關(guān)系；
② 當(dāng)逐漸增大時(shí)，的大小怎樣變化？
③ 當(dāng)為何值時(shí)，最小，最小值是多少？
④當(dāng)為何值時(shí)，
？
（22）、（本小題滿分12分）給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)。
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求
與
的夾角的大小；
（Ⅱ）設(shè)
，若λ∈[4,9]，求l在y軸上截距的變化范圍.
湖南省衡陽(yáng)市祁東縣育賢中學(xué)高三文科數(shù)學(xué)試題（2007年2月）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．答案：A
解：依題意可知：由
顯然：
但
不能推出
。
故選A ；
2．答案：D
解：依題意可知：設(shè)點(diǎn)
，則在點(diǎn)P處的切線的斜率為
，即
，又
故選D ；
3．答案：C
解：依題意可知：由
是奇函數(shù)，
故選C ；
4．答案：A
解：依題意可知：由
故選A；
5．答案：C
解：如圖：函數(shù)
是周期函數(shù)，T=1。
故選C；
6．答案：A
解：依題意可知：由
，
，
又
。
故選A ；
7．答案：B
解：依題意可知：由圖可知：
。
8．答案：A
解：依題意可知：如圖，
，
則在
中，
；
則在
中，
；
則在
中，
；
故選A ；
9．答案：D
解：依題意可知：因
表示與
同方向的單位向量，
表示與
同方向的單位向量，故
，而
，
又（+）
，說(shuō)明
向量與
向量垂直，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線 過(guò)向量所在線段中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可逆推
為等腰三角形。又與夾角為
，故為等邊三角形。
故選D ；
10．答案：A
解：設(shè)
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B與C；故選A。
11．答案：B
解法一：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
條直線；
條直線組成
對(duì)直線；正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
個(gè)面，其中12個(gè)四點(diǎn)面（6個(gè)表面，4個(gè)面對(duì)角面，2個(gè)體對(duì)角面），8個(gè)三點(diǎn)面；每個(gè)四點(diǎn)面上有
條直線，6條直線組成
對(duì)直線，12個(gè)四點(diǎn)面由12×15=180對(duì)直線組成；每個(gè)三點(diǎn)面上有
條直線，3條直線組成對(duì)直線，8個(gè)三點(diǎn)面由8×3=24對(duì)直線組成；由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
解法二：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
個(gè)四面體，每個(gè)四面體中有三對(duì)異面直線，由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
12．答案：A
解：①正確；①中依題意可令
，
當(dāng)
時(shí)，
在
上為減函數(shù)，
又因
在區(qū)間
為減函數(shù)，故
；
②錯(cuò)誤；②中
當(dāng)
當(dāng)
③錯(cuò)誤；③中當(dāng)
時(shí)，
④正確；
圓的對(duì)稱軸為直徑所在的直線，故原命題正確。
故答案為：A。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．答案：
解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為
，則
直線PQ的方程為：
即
，
Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
，R點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
故答案為：；
14．答案：
解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過(guò)球心O的大圓上，設(shè)球半徑為R，AC=2R=
，
；
設(shè)球心O到側(cè)面SAB的距離為
，連接
，
，過(guò)
作
于
，
連接SM，則
，
，
又
4
。
故答案為：；
15．答案：10
解：依題意可知：由
令
，故
的系數(shù)為
。
故答案為：10 ；
16．答案：③
解：依題意可知：①錯(cuò)，因在
上，
為減函數(shù)，而在
上，
為增函數(shù)。
②錯(cuò)，因在
上，為增函數(shù)，而在
上，為減函數(shù)。
③正確。因在
上，為增函數(shù)。
④錯(cuò)，因在
上，為增函數(shù)，而在
上，為減函數(shù)，故
時(shí)，函數(shù)有極大值。
⑤錯(cuò)，因在上，為增函數(shù)，故
時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極大值。
故答案為：③；
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
（17）解：
，設(shè)
中有
個(gè)元素，顯然有
，其中最大的一個(gè)是
，由于是正整數(shù)集合，故
且
；
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)不符合題意；
當(dāng)
時(shí)，
或
或，顯然只有符合題意；
當(dāng)
時(shí)，設(shè)
其中
，
此時(shí)令
，
若
，則
，
不符合題意；
若
，由于是正整數(shù)集合，故
，
故時(shí)不符合題意；
綜上所述。
（18）解：令
故當(dāng)
（19）。答：與平面
垂直的直線條數(shù)有1條為
；
證法一：依題意由圖可知：連
，
連
，
；
證法二：依題意由圖建立空間直角坐標(biāo)系：
，
設(shè)與
垂直的法向量為
，則有：
，而
，故
。
（20）解：設(shè)S為勞動(dòng)村全體農(nóng)民的集合，
為
季度勞動(dòng)村在外打工的農(nóng)民的集合，則
為季度勞動(dòng)村沒(méi)有在外打工的農(nóng)民的集合，由題意有
所以
勞動(dòng)村的農(nóng)民全年在外打工為
，則
，
但
，
所以
，
即
。
故勞動(dòng)村至少有
的農(nóng)民全年在外打工。
（21）解：①作圖進(jìn)行受力分析，如下圖示；
由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)，得出：
② ∵
，∴
故
在上為減函數(shù)，
∴當(dāng)逐漸增大時(shí)，
也逐漸增大。
③要最小，則為最大，∴當(dāng)為
時(shí)，最小，最小值是
。
④要
，則
，∴當(dāng)為
時(shí)，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將
代入方程
，并整理得 
設(shè)
則有 
所以
夾角的大小為
（Ⅱ）由題設(shè)
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依題意有
又F（1，0），得直線l方程為
時(shí)，l在方程y軸上的截距為
可知
在[4，9]上是遞減的，
