電磁感應(yīng)中的能量

重點(diǎn)難點(diǎn)

   1．分清能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系：導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流在磁場中受到安培力作用，如果該安培力做負(fù)功，是把其他形式的能量轉(zhuǎn)化為電能；如果安培力做正功，是把電能轉(zhuǎn)化為其他形式能量．

2．有效值問題：當(dāng)線框在磁場中轉(zhuǎn)動切割勻強(qiáng)磁場磁感線或?qū)�體棒以簡諧運(yùn)動切割磁感線時，產(chǎn)生的電能、熱能等都應(yīng)以有效值進(jìn)行運(yùn)算．

3．電量的計(jì)算：當(dāng)導(dǎo)體棒只受安培力作用時，安培力對棒的沖量為：F_安?t = BIlt，其It即為該過程中電磁感應(yīng)時通過導(dǎo)體的電量q，即安培力沖量為Bql．當(dāng)兩個過程中磁通量φ變化量Δφ相同時，由q = 可知此時通過的電量也相同，安培力沖量也相同．

規(guī)律方法

【例1】如圖所示，兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面，導(dǎo)軌上橫放著兩根相同的導(dǎo)體棒ab、cd與導(dǎo)軌構(gòu)成矩形回路，導(dǎo)體棒的兩端連接著處于壓縮狀態(tài)的兩根輕質(zhì)彈簧，兩棒的中間用細(xì)線綁住，它們的電阻均為R，回路上其余部分的電阻不計(jì)，在導(dǎo)軌平面內(nèi)兩導(dǎo)軌間有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場，開始時，導(dǎo)體棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，

剪斷細(xì)線后，導(dǎo)體棒在運(yùn)動過程中        （ AD ）

A．回路中有感應(yīng)電動勢?

B．兩根導(dǎo)體棒所受安培力的方向相同?

C．兩根導(dǎo)體棒和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒?

D．兩根導(dǎo)體棒的彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能不守恒?

訓(xùn)練題兩根光滑的金屬導(dǎo)軌，平行放置在傾角為θ的斜面上，導(dǎo)軌的左端接有電阻R，導(dǎo)軌的電阻可忽略不計(jì)，斜面處在一勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直斜面向上，質(zhì)量為m，電阻可不計(jì)的金屬棒ab，在沿著斜面與棒垂直的恒力F作用下沿導(dǎo)軌勻速上滑，并上升高度h，如圖所示，在這個過程中（  A  ）

A．作用在金屬棒上的各個力的合力所做功等于零?

B．作用在金屬棒上的各個力的合力所做的功等于mgh與電阻R上發(fā)出的焦耳熱之和?

C．恒力F與安培力的合力所做的功等于零?

D．恒力F與重力的合力所做的功大于電阻R上發(fā)出的焦耳熱?

【例2】如圖所示，固定的水平金屬導(dǎo)軌，間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略?初始時刻，彈簧恰處于自然長度?導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度υ₀在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動的過程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．（1）求初始時刻導(dǎo)體棒受到的安培力；（2）若導(dǎo)體棒從初始時刻到速度第一次為零時，彈簧的彈性勢能為E_p，則這一過程中安培力所做的功W₁和電阻上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁分別為多少？（3）導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動，最終將靜止于何處？從導(dǎo)體棒開始運(yùn)動直到最終靜止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為多少？?

【解析】導(dǎo)體棒以初速度υ₀做切割磁感線運(yùn)動而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中的感應(yīng)電流使導(dǎo)體棒受到安培力的作用?安培力做功使系統(tǒng)機(jī)械能減少，最終將全部機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．由平衡條件知，棒最終靜止時，彈簧的彈力為零，即此時彈簧處于初始的原長狀態(tài)．

（1）初始時刻棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢?

E = BLυ_o                                                                                                                 ①?

棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I =                                                                                  ②?

作用于棒上的安培力F = BIL                                                                               ③?

聯(lián)立①②③，得F = ，安培力方向：水平向左??

（2）由功和能的關(guān)系，得:安培力做功W₁ = E_p-mυ?

電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁ = mυ-E_P?

（3）由能量轉(zhuǎn)化及平衡條件等，可判斷：棒最終靜止于初始位置?

Q = mυ?

訓(xùn)練題如圖所示，間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平地放置在豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，一端接阻值為R的電阻，一電阻為R₀質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上，在外力F作用下從t = 0的時刻開始運(yùn)動，其速度隨時間的變化規(guī)律υ = υ_msinωt，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求：

（1）從t₁ = 0到t₂ = 2π/ω時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量．

（2）從t₁ = 0到t₃ = 時間內(nèi)外力F所做的功．

答案：（1）Q=πB²l²v_m²R/ω（R₀+R）²

       （2）W=mv_m²/2 + πB²l²v_m²/4ω（R₀+R）

【例3】如圖所示a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌所在的平面（紙面）向里，導(dǎo)軌的a₁b₁段與a₂b₂段是豎直的，距離為l₁；c₁d₁段與c₂d₂段也是豎直的，距離為l₂?x₁y₁與x₂y₂為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為m₁和m₂，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸．兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R．F為作用于金屬桿x₁y₁上的豎直向上的恒力．已知兩桿運(yùn)動到圖示位置時，已勻速向上運(yùn)動，求此時作用在兩桿上的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率．

【解析】設(shè)桿向上運(yùn)動的速度為υ，因桿的運(yùn)動，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少?由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢的大小E = B（l₂-l₁）υ，回路中的電流I = ，電流沿順時針方向?兩金屬都要受到安培力的作用，作用于桿x₁y₁的安培力為f₁ = Bl₁I，方向向上，作用于桿x₂y₂的安培力f₂ = Bl₂I，方向向下?當(dāng)桿做勻速動動時，根據(jù)牛頓第二定律有F-m₁g-m₂g+f₁-f₂ = 0，解以上各式，得?

I =           υ = R                                        ?

作用于兩桿的重力的功率的大小P =（m₁+m₂）gu        電阻上的熱功率Q = I²R       ?

得    P = R（m₁+m₂）g?          Q = []²R?

訓(xùn)練題如圖，兩根金屬導(dǎo)軌與水平面成30°平行放置，導(dǎo)軌間距0．5m，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計(jì)，兩根金屬棒MN、PQ垂直導(dǎo)軌放置，由于摩擦，MN、PQ均剛好保持靜止，兩棒質(zhì)量均為0．1kg，電阻均為0．1Ω，它們與導(dǎo)軌間動摩擦因素均為μ = ，空間有垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 0.4T現(xiàn)用沿導(dǎo)軌平面向上的力F = 1．2N垂直作用力于金屬棒MN，取g = 10m/s²，試求：

（1）金屬棒MN的最大速度；

（2）金屬棒MN運(yùn)動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，1s內(nèi)外力F做的功，并計(jì)算說明能量的轉(zhuǎn)化是否守恒．

答案：（1）v_m=2m/s

（2）W=2．4J

能力訓(xùn)練

1．如圖水平光滑的平行金屬導(dǎo)軌，左端與電阻R相連接，勻強(qiáng)磁場B豎直向下分布在導(dǎo)軌所在的空間內(nèi)，質(zhì)量一定的金屬棒垂直擱在導(dǎo)軌上，令棒以一定的初速度向右運(yùn)動，當(dāng)其通過位置a時速率為υ_a，通過位置b時速率為υ_b，到位置C時棒剛好靜止，設(shè)導(dǎo)軌與棒的電阻均不計(jì)，a、b與b、c的間距相等，則關(guān)于金屬棒由a到b和由b到c的兩個過程中，以下說法正確的是       （ D ）

A．通過棒截面的電量不相等?

B．棒運(yùn)動的加速度相等?

C．棒通過a、b兩位置時的速率關(guān)系為υ_a＞2υ_b?

D．回路中產(chǎn)生的電能E_ab與E_bc的關(guān)系為：E_ab = 3E_bc?

2．如圖所示，ab、cd為兩根水平放置且相互平行的金屬軌道，相距L，左右兩端各連接一個阻值均為R的定值電阻，軌道中央有一根質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒MN垂直放在兩軌道上，與兩軌道接觸良好，棒及軌道的電阻不計(jì)，整個裝置處于垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．棒MN在外驅(qū)動力作用下做簡諧運(yùn)動，其振動周期為T，振幅為A，通過中心位置時的速度為υ₀，則驅(qū)動力對棒做功的平均功率為  （ B  ）?

A．      B． ?  

C．     D． ?

3．一電阻為R的金屬圓環(huán)，放在勻強(qiáng)磁場中，磁場與圓環(huán)所在平面垂直，如圖(a)所示．已知通過圓環(huán)的磁通量隨時間t的變化關(guān)系如圖(b)所示，圖中的最大磁通量φ₀和變化周期T  都是已知量，求

    (1)在t= 0到t=T/4的時間內(nèi)，通過金屬圓環(huán)某橫截面的電荷量q．

    (2)在t= 0到t=2T的時間內(nèi)，金屬環(huán)所產(chǎn)生的電熱Q．

    答案：(1)在t=0到時間內(nèi)，環(huán)中的感應(yīng)電動勢     E₁=                     

    在以上時段內(nèi)，環(huán)中的電流為      I ₁=            

    則在這段時間內(nèi)通過金屬環(huán)某橫截面的電量  q= I ₁ t          

    聯(lián)立求解得                   

    (2)在到和在到t =T時間內(nèi)，環(huán)中的感應(yīng)電動勢   E ₁= 0     

    在和在時間內(nèi)，環(huán)中的感應(yīng)電動勢    E ₃=   

    由歐姆定律可知在以上時段內(nèi)，環(huán)中的電流為    I ₃ =     

    在t=0到t=2T時間內(nèi)金屬環(huán)所產(chǎn)生的電熱      Q=2(I ₁² R t ₃+ I ₃² R t ₃)    

    聯(lián)立求解得      Q=    

4．平行軌道PQ、MN兩端各接一個阻值R₁＝R₂＝8的電阻，軌道間距L＝1m，軌道很長，本身電阻不計(jì)。軌道間磁場按如圖所示的規(guī)律分布，其中每段垂直紙面向里和向外的磁場區(qū)域?qū)挾染鶠?st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="2" UnitName="cm" w:st="on">2cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B＝1T，每段無磁場的區(qū)域?qū)挾染鶠?st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="1" UnitName="cm" w:st="on">1cm，導(dǎo)體棒ab本身電阻r＝1，與軌道接觸良好�，F(xiàn)使ab以v＝10m/s向右勻速運(yùn)動。求：

⑴當(dāng)導(dǎo)體棒ab從左端進(jìn)入磁場區(qū)域時開始計(jì)時，設(shè)電流方向從a流向b為正方向，請畫出流過導(dǎo)體棒ab的電流隨時間變化關(guān)系的i―t圖象。

⑵整個過程中流過導(dǎo)體棒ab的電流為交變電流，求出流過導(dǎo)體棒ab的電流有效值。

答案：⑴ab在兩磁場中切割磁場產(chǎn)生的電動勢E＝BLV＝10（V）　

        則ab中的感應(yīng)電流大小均為（A）　

       流過導(dǎo)體棒ab的電流隨時間變化規(guī)律如圖所示

   ⑵由電流圖象得流過ab棒的電流周期為T＝6×10^－3s

由     　

5．如圖所示，光滑平行的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距l，其框架平面與水平面成θ角，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接一個阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間OO₁O₁′O′矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向下、寬為d的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab，垂直擱置于導(dǎo)軌上，與磁場上邊界相距d₀，現(xiàn)使它由靜止開始運(yùn)動，在棒ab離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的接觸，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）。求：

⑴棒ab在離開磁場下邊界時的速度；

⑵棒ab通過磁場區(qū)的過程中整個電路所消耗的電能。

答案：⑴導(dǎo)體棒ab切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E＝BLv

產(chǎn)生的電流為

導(dǎo)體棒受到的安培力為 F＝BIl　

導(dǎo)體棒出磁場時作勻速運(yùn)動，受力平衡，即mgsinθ＝F

聯(lián)立解得  

   ⑵由能量轉(zhuǎn)化守恒得E_電＝E_G－E_K

即E_電＝＝

6．如圖光滑斜面的傾角α＝30°，在斜面上放置一矩形線框abcd，ab邊的邊長l₁＝1m，bc邊的邊l₂＝0.6m，線框的質(zhì)量m＝1kg，電阻R＝0.1Ω，線框通過細(xì)線與重物相連，重物質(zhì)量M＝2kg，斜面上ef線（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度Ｂ＝0.5T，如果線框從靜止開始運(yùn)動，進(jìn)入磁場最初一段時間是勻速的，ef線和gh線的距離s＝11.4m，（取g＝10m/s²），求：

⑴線框進(jìn)入磁場時勻速運(yùn)動的速度v；

⑵ab邊由靜止開始運(yùn)動到gh線所用的時間t；

⑶t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱．

答案：⑴因?yàn)榫�框進(jìn)入磁場的最初一段時間做勻速運(yùn)動，所以重物受力平衡     

線框abcd受力平衡   

ab邊進(jìn)入磁場切割磁感線，產(chǎn)生的電動勢     

形成的感應(yīng)電流         受到的安培力         

聯(lián)立得：      解得　　　　

⑵線框abcd進(jìn)磁場前時，做勻加速直線運(yùn)動；進(jìn)磁場的過程中，做勻速直線運(yùn)動；進(jìn)入磁場后到運(yùn)動到gh線，仍做勻加速直線運(yùn)動。

進(jìn)磁場前   對M                      對m 

聯(lián)立解得：         該階段運(yùn)動時間為     

進(jìn)磁場過程中   勻速運(yùn)動時間           

進(jìn)磁場后   線框受力情況同進(jìn)磁場前，所以該階段的加速度仍為

             解得：               

因此ab邊由靜止開始運(yùn)動到gh線所用的時間 

⑶ J     

7．如圖所示，水平固定的光滑U形金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一阻值為R的電阻（金屬框架、金屬棒及導(dǎo)線的電阻勻可忽略不計(jì)），整個裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)給棒ab一個初速度υ₀，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動，如圖甲所示．?

（1）金屬棒從開始運(yùn)動到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，求通過電阻R的電量和電阻R中產(chǎn)生的熱量；?

（2）金屬棒從開始運(yùn)動到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中求金屬棒通過的位移；?

（3）如果將U形金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器，其他條件不變，如圖乙所示．求金屬棒從開始運(yùn)動到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時電容器的帶電量

和電容器所儲存的能量（不計(jì)電路向外界輻射的能量）．?

答案：（1）由動量定理得    即    所以

由能量守恒定律得    

（2）          所以

（3）當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動時，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動時，有：

BLv=U_C=

而對導(dǎo)體棒ab利用動量定理可得：   -BL=mv-mv₀

由上述二式可求得：     

8．如圖所示，兩條光滑的絕緣導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的水平部分與圓弧部分平滑連接，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌的水平部分有n段相同的勻強(qiáng)磁場區(qū)域（圖中的虛線范圍），磁場方向豎直向上，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場的寬度為S，相鄰磁場區(qū)域的間距也為S，S大于L，磁場左、右兩邊界均與導(dǎo)軌垂直�，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，電阻為r，邊長為L的正方形金屬框，由圓弧導(dǎo)軌上某高度處靜止釋放，金屬框滑上水平導(dǎo)軌，在水平導(dǎo)軌上滑行一段時間進(jìn)入磁場區(qū)域，最終線框恰好完全通過n段磁場區(qū)域。地球表面處的重力加速度為g，感應(yīng)電流的磁場可以忽略不計(jì)，求：

（1）剛開始下滑時，金屬框重心離水平導(dǎo)軌所在平面的高度．

（2）整個過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱．

（3）金屬框完全進(jìn)入第k（k＜n）段磁場區(qū)域前的時刻，金屬框中的電功率．

答案：（1）設(shè)金屬框在進(jìn)入第一段勻強(qiáng)磁場區(qū)域前的速度為v₀，金屬框在進(jìn)入和穿出第一段勻強(qiáng)磁場區(qū)域的過程中，線框中產(chǎn)生平均感應(yīng)電動勢為

平均電流強(qiáng)度為（不考慮電流方向變化）  

由動量定理得：　　

同理可得：　　　　

　　　　　　　　　　　……

整個過程累計(jì)得：　　

解得：　　　　　　　

金屬框沿斜面下滑機(jī)械能守恒：　         

（2）金屬框中產(chǎn)生的熱量Q＝mgh        Q＝

（3）金屬框穿過第（k－1）個磁場區(qū)域后，由動量定理得：

金屬框完全進(jìn)入第k個磁場區(qū)域的過程中，由動量定理得：　　

解得：　　.      功率：