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第二十一講 圓錐曲線中的最值和范圍問題（一）

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.           D.(2,+∞)

2． P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x＋5)²＋y²＝4和(x－5)²＋y²＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ D  ）

A. 6              B.7              C.8                D.9

3．拋物線y=-x²上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )

A．               B．           C．               D．

4．已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）

    (A)           (B)           (C)          (D)

5．已知拋物線y²=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點，則y₁²+y₂²的最小值是   32       .

6．對于拋物線y²=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是( B )

（A）（－∞，0）     （B）（－∞，2     （C）［0，2］         （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【熱點透析】

與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：

（1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；

（2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內等）列出所討論的參數適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數的變化范圍；

（3）函數值域求解法：把所討論的參數作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍。

（4）利用代數基本不等式。代數基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構思；

（5）結合參數方程，利用三角函數的有界性。直線、圓或橢圓的參數方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于：

① 通過參數θ簡明地表示曲線上點的坐標；

② 利用三角函數的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；

（6）構造一個二次方程，利用判別式D³0。

★★★突破重難點

【例1】已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.

解：（Ⅰ）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，

所求方程為： （x>0）

（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x₀，

此時A（x₀，），B（x₀，－），＝2

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，

代入雙曲線方程中，得：(1－k²)x²－2kbx－b²－2＝0

依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則

解得|k|>1，

又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）

＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

綜上可知的最小值為2

【例2】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F是右焦點，當取得最小值時，試求B點的坐標。

解：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義

于是 為定值

其中，當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為

所以，當取得最小值時，B點坐標為

【例3】已知P點在圓x²+(y-2)²=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。

解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O₁時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O₁Q|的最大值.設Q(x，y)，則|O₁Q|²= x²+(y-4)²   ①

因Q在橢圓上,則x²=9(1-y²)     ②

將②代入①得|O₁Q|²= 9(1-y²)+(y-4)²

因為Q在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當時，

此時

【點睛】1.與圓有關的最值問題往往與圓心有關；

2.函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數等，值得注意的是函數自變量取值范圍的考察不能被忽視。

【例4】已知橢圓的一個焦點為F₁(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數列。

（1）求橢圓方程；

（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。

（1）解：依題意e ，

    ∴a＝3，c＝2，b＝1，

    又F₁(0，－2)，對應的準線方程為

    ∴橢圓中心在原點，所求方程為

 (2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分

∴直線l的斜率存在。 設直線l：y＝kx＋m

由消去y，整理得 (k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l與橢圓交于不同的兩點M、N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0  即m²－k²－9＜0       ①

設 M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)        ②

把②代入①式中得，

∴k＞或k＜－

∴直線l傾斜角

第二十二講圓錐曲線中的最值和范圍問題（二）

【例5】長度為（）的線段的兩個端點、分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且（為常數且）．

（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡類型；

（2）當=2時，已知直線與原點O的距離為，且直線與軌跡有公共點，求直線的斜率的取值范圍．

答案：(1)設、、，則

，由此及，得

，即 （*）

①當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓．

②當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓．

③當時，方程（*）的軌跡是焦點為以O點為圓心，為半徑的圓．

（2）設直線的方程：，據題意有，即．

由得 ．

因為直線與橢圓有公共點，所以 

又把代入上式得 ：．

【例6】橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率, 過點C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量的比為2.

（1）用直線的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面積；（2）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。

解：（1）設橢圓E的方程為( a＞b＞0 )，由e =

∴a²=3b²   故橢圓方程x² + 3y² = 3b²

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由于點C（－1，0）分向量的比為2，

∴             即

由消去y整理并化簡得    (3k²+1)x²+6k²x+3k²－3b²=0

由直線l與橢圓E相交于A（x₁,y₁）, B(x₂,y₂)兩點得：

而S_△OAB  ⑤

由①③得:x₂+1=－，代入⑤得：S_△OAB  =

（2）因S_△OAB=,

當且僅當S_△OAB取得最大值

此時 x₁ + x₂ =－1, 又∵  =－1    ∴x₁=1,x₂ =－2

將x₁,x₂及k² = 代入④得3b² = 5 ∴橢圓方程x² + 3y² = 5

【例7】設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，若試求l的取值范圍.

解：當直線垂直于x軸時，可求得;

當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得

解之得 

因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.

當時，，，

所以 ＝＝＝.

由  ， 解得 ，

所以   ，

綜上  .

【例8】我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．

如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．

（1）       若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；

（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．

解：（1） ，

，于是，

所求“果圓”方程為，． 

（2）設，則

，

     ， 的最小值只能在或處取到．

     即當取得最小值時，在點或處．                   

    （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．

    當，即時，的最小值在時取到，

此時的橫坐標是．                                       

    當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．                               

綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；

若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．