考試內容：

集合.子集、交集、并集、補集.

映射.函數(shù)(函數(shù)的記號、定義域、值域).

冪函數(shù).函數(shù)的單調性.函數(shù)的奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.

指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).換底公式.簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

二次函數(shù).

考試要求：

(1)理解集合、子集、交集、并集、補集的概念.了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關系的意義，能掌握有關的術語和符號，能正確地表示一些較簡單的集合.

(2)了解映射的概念，在此基礎上理解函數(shù)及其有關的概念掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.

(3)理解函數(shù)的單調性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的單調性和奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性與圖象的對稱性的關系描繪函數(shù)圖象.

(4)掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的概念及其圖象和性質，并會解簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程.

1.在下面給出的函數(shù)中，哪一個既是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)(85(3)3分)
A.y＝x²             B.y＝|sinx|          C.y＝cos2x          D.y＝e^sin2x
B

2.函數(shù)y＝(0.2)^－x＋1的反函數(shù)是(86(2)3分)
A.y＝log₅x＋1        B.y＝log_x5＋1        C.y＝log₅(x－1)      D.y＝log₅x－1
C

3.在下列各圖中，y＝ax²＋bx與y＝ax＋b的圖象只可能是(86(9)3分)
A.                  B.                  C.                  D.
D

4.設S，T是兩個非空集合，且SËT，TËS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X                B.T                 C.Φ                D.S
D

5.在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是(87(5)3分)
A.y＝－log_0.5(－x)    B.y＝           C.y＝－(x＋1)²      D.y＝1＋x^２
B

6.集合{1，2，3}的子集總共有(88(3)3分)
A.7個              B.8個              C.6個              D.5個
B

7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，則＝(89(1)3分)
A.φ                B.hn1d1jl               C.{a，c}            D.{b，e}
A

8.與函數(shù)y＝x有相同圖象的一個函數(shù)是(89(2)3分)
A.y＝       B.y＝           C.y＝a(a＞0且a≠1)  D.y＝log_aa^x(a＞0且a≠1)
D

9.已知f(x)＝8＋2x－x²，如果g(x)＝f(2－x²)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在區(qū)間(－1，0)上是減函數(shù)              B.在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)
C.在區(qū)間(－2，0)上是增函數(shù)              D.在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)
A

10.方程2的解是(90(1)3分)
A.x＝              B.x＝            C.x＝            D.x＝9
A

11.設全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，則＝(90(9)3分)
A.φ                B.{(2，3)}          C.(2，3)            D.{(x，y)|y＝x＋1}
B

12.如果實數(shù)x，y滿足等式(x－2)²＋y²＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A.                 B.               C.               D.
D

13.函數(shù)f(x)和g(x)的定義域為R，“f(x)和g(x)均為奇函數(shù)”是“f(x)與g(x)的積為偶函數(shù)”的(90上海)
A.必要條件但非充分條件                  B.充分條件但非必要條件
C.充分必要條件                          D.非充分條件也非必要條件
B

14.如果log_a2＞log_b2＞0，那么(90廣東)
A.1＜a＜b           B.1＜b＜a           C.0＜a＜b＜1        D.0＜b＜a＜1
A

15.函數(shù)y＝(x＋4)²在某區(qū)間上是減函數(shù)，這區(qū)間可以是(90年廣東)
A.(－∞，－4]       B.[－4，＋∞)       C.[4，＋∞)         D.(－∞，4]
A

16.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函數(shù)且最小值為－5                   B.增函數(shù)且最大值為－5
C.減函數(shù)且最小值為－5                   D.減函數(shù)且最大值為－5
B

17.設全集為R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A.            B.∪N            C.∪N            D.
D

18.等于(92(1)3分)
A.                 B.1                 C.                 D.2
A

19.圖中曲線是冪函數(shù)y＝xⁿ在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應于曲線c₁，c₂，c₃，c₄的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2     B.2，，－2
C.－，－2，2，    D.，2，－2，－
B

20.函數(shù)y＝的反函數(shù)(92(16)3分)
A.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)     B.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)     D.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)
C

21.如果函數(shù)f(x)＝x²＋bx＋c對任意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4)                       B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)                       D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A

22.當0＜a＜1時，函數(shù)y＝a^x和y＝(a－1)x²的圖象只可能是(92年上海)
A.                  B.                  C.                  D.




D

23.設全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|log_x7＞log₃7}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2}        B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3}          D.{x|－2≤x＜3}
B

24.對于定義域為R的任何奇函數(shù)f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R)                  B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R)                    D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C

25.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于0，則f(x)(93(8)3分)
A.是奇函數(shù)                              B.是偶函數(shù)
C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)            D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
A

26.設a，b，c都是正數(shù)，且3^a＝4^b＝6^c，那么(93(16)3分)
A.           B.           C.           D.
B

27.函數(shù)y＝x＋a與y＝log_ax的圖象可能是(93年上海)
A.                  B.                  C.                  D.




C

28.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(93年三南)
A.M＝N             B.NÌM             C.MÌN             D.M∩N＝φ
C

29.設全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，則＝(94(1)4分)
A.{0}               B.{0，1}            C.{0，1，4}         D.{0，1，2，3，4}
C

30.設函數(shù)f(x)＝1－(－1≤x≤0)，則函數(shù)y＝f^－1(x)的圖象是(94(12)5分)
A.         y        B.  y       1       C.   y              D. y      1   x
              1                     x      1                 O
                      －1
    －1    O    x                         O         1   x  －1
B

31.定義在R上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)之和，如果f(x)＝lg(10^x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10^x＋10^－x＋1)      B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10^x＋1)－         D.g(x)＝－，h(x)＝
C

32.當a＞1時，函數(shù)y＝log_ax和y＝(1－a)x的圖像只可能是(94上海)
A.    y             B.    y             C.  y               D.    y
   0    1       x      0    1     x         0    1     x          0    1     x


B

33.設I是全集，集合P，Q滿足PÌQ，則下面結論中錯誤的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q          B.∪Q＝I          C.P∩＝φ         D.
D

34.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正確的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log_(1－a)(1＋a)＞0   C.(1－a)³＞(1＋a)²   D.(1－a)^1＋a＞1
A

35.已知I為全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，則(95(1)4分)
A.           B.ÍN               C.             D.ÊN
C

36.函數(shù)y＝－的圖象是(95(2)4分)
  A.   y          B.           y        C. y                D.        y

      O  1      x          －1    O  x     O   1       x       －1  O    x

B

37.已知y＝log_a(2－ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是(95(11)5分)
A.(0，1)          B.(1，2)              C.(0，2)            D.[2，＋∞)
B

38.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ        B.PÌQ                C.QÌP              D.P∪Q＝R
B

39.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，則(96(1)4分)
A.I＝A∪B        B.I＝∪B            C.I＝A∪          D.I＝
C

40.當a＞1時，同一直角坐標系中，函數(shù)y＝a^－x，y＝log_ax的圖象是(96(2)4分)
A.     y          B.     y              C. y                D.   y
       1              1                   1                   1

    O    1     x      O   1       x       O     1     x       O  1       x
A

41.設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1，f(x)＝x，則f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5             B.－0.5               C.1.5               D.－1.5
B

42.如果log_a3＞log_b3＞0，那么a、b間的關系為(96上海)
A.0＜a＜b＜1      B.1＜a＜b             C.0＜b＜a＜1        D.1＜b＜a
B

43.在下列圖像中，二次函數(shù)y＝ax²＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()^x的圖像只可能是(96上海)
A.                B.                    C.                  D.



A

44.設集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x²－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1}     B.{x|0≤x＜2}         C.{x|0≤x≤1}       D.{x|0≤x≤2}
B

45.將y＝2^x的圖象
A.先向左平行移動1個單位                B.先向右平行移動1個單位
C.先向上平行移動1個單位                D.先向下平行移動1個單位
再作關于直線y＝x對稱的圖象，可得到函數(shù)y＝log₂(x＋1)的圖象.(97(7)4分)
D

46.定義在區(qū)間(－∞，＋∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)的圖象與f(x)重合.設a＞b＞0，給出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)             ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)             ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①與④          B.②與③              C.①與③            D.②與④
C

47.三個數(shù)6^0.7，0.7⁶，log_0.76的大小關系為(97上海)
A.0.7⁶＜log_0.76＜6^0.7                                        B.0.7⁶＜6^0.7＜log_0.76 
C.log_0.76＜6^0.7＜0.7⁶                                        D.log_0.76＜0.7⁶＜6^0.7
D

48.函數(shù)y＝a^|x|(a＞1)的圖像是(98(2)4分)
A.   y            B.    y               C.    y             D.     y
                           1                  1                    1
      o        x         o        x        o        x             o      x
B

49.函數(shù)f(x)＝(x≠0)的反函數(shù)f^－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0)         B.(x≠0)             C.－x(x≠0)         D.－(x≠0)
B

50.如果實數(shù)x，y滿足x²＋y²＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年廣東)
A.最小值和最大值1                     B.最大值1和最小值
C.最小值而沒有最大值                   D.最大值1而沒有最小值
B

51.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S      B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩     D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C

52.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是(99(2)4分)
A.4               B.5                   C.6                 D.7
A

53.若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，則g(b)＝(99(3)4分)
A.a               B.a－1                C.b                 D.b－1
A

54.設集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ＋n，則在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2               B.3                   C.4                 D.5
C

55.《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分別累進計算.

全月應納稅所得額

稅率

不超過500元的部分

5%

超過500元至2000元的部分

10%

超過2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元      B.900～1200元        C.1200～1500元     D.1500～2800元
C

56.設全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ              B.btbbhhv                 C.{a，c}            D.{b，e}
A

57.已知f(x⁶)＝log₂x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A.               B.8                   C.18                D.
D

58.函數(shù)y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增
B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調遞減
C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增
D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減
B

59.已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的圖象如右圖，則(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0)    B.b∈(0，1)           C.b∈(1，2)         D.b∈(2，＋∞)
A

60.若集合S＝{y|y＝3^x，x∈R}，T＝{y|y＝x²－1，x∈R}，則S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S               B.T                   C.Φ                D.有限集
A

61.已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是(2000廣東)
A.15              B.16                  C.3                 D.4
A

62.設集合A和B都是坐標平面上的點集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，則在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1)          B.()               C.()           D.(1，3)
B

63.集合M＝{1，2，3，4，5}的子集個數(shù)是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32              B.31                  C.16                D.15
A

64.函數(shù)f(x)＝a^x(a＞0且a≠1)對于任意的實數(shù)x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y)                         B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y)                       D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C

65.函數(shù)y＝－的反函數(shù)是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x²－1(－1≤x≤0)                    B.y＝x²－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x²(x≤0)                         D.y＝1－x²(0≤x≤1)
C

66.已知f(x⁶)＝log₂x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A.               B.8                   C.18                D.
D

67.若定義在區(qū)間(－1， 0) 內的函數(shù)f(x)＝log_2a(x＋1) 滿足f(x)＞0， 則a的取值范圍是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞)       B.(0，]              C.(0，)            D.(0，＋∞)
C

68.設f(x)、g(x)都是單調函數(shù)，有如下四個命題:(2001年(10)5分)
①若f(x)單調遞增，g(x)單調遞增，則f(x)－g(x)單調遞增;
②若f(x)單調遞增，g(x)單調遞減，則f(x)－g(x)單調遞增;
③若f(x)單調遞減，g(x)單調遞增，則f(x)－g(x)單調遞減;
④若f(x)單調遞減，g(x)單調遞減，則f(x)－g(x)單調遞減;
其中，正確的命題是
A.②③            B.①④                C.①③              D.②④
A

69.滿足條件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的個數(shù)是(2002年北京(1)5分)
A.1               B.2                   C.3                 D.4
B

70.下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(，π)上為減函數(shù)的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos²x         B.y＝2|sinx|           C.y＝()^cosx         D.y＝－cotx
B

71.如圖所示，f_i(x)(i＝1，2，3，4)是定義在[0， 1]上的四個函數(shù)，其中滿足性質：“對[0， 1]中任意的x₁和x₂，任意l∈[0， 1]， f[lx₁＋(1－l)x₂]≤lf(x₁)＋(1－l)f(x₂)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)





A.f₁(x)， f₃(x)     B.f₂(x)                C.f₂(x)， f₃(x)       D.f₄(x)
A

72.一般地，家庭用電量(千瓦時)與氣溫(℃)有一定的關系，用圖(1)表示某年12個月中每月的平均氣溫，圖(2)表示某家庭在這年12個月中每月的用電量，根據(jù)這些信息，以下關于該家庭用電量與氣溫間關系的敘述中，正確的是(2002年上海(16)4分)








                      圖(1)                               圖(2)
A.氣溫最高時，用電量最多                B.氣溫最低時，用電量最少
C.當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加
D.當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫降低而增加
C

73.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(2002年全國(5)、廣東(5)、天津(6)5分)
A.M＝N           B.MÌN               C.NÌM             D.M∩N＝φ
B

74.函數(shù)f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數(shù)的充要條件是(2002年廣東(7)5分)
A.ab＝0           B.a＋b＝0             C.a＝b              D.a²＋b²＝0
D

75.函數(shù)y＝1－(2002年廣東(9)5分)
A.在(－1，＋∞)內單調遞增               B.在(－1，＋∞)內單調遞減
C.在(1，＋∞)內單調遞增                 D.在(1，＋∞)內單調遞減
C

76.函數(shù)y＝x²＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是單調函數(shù)的充要條件是(2002年全國(9)、天津(8)5分)
A.b≥0            B.b≤0                C.b＞0              D.b＜0
A

77.據(jù)2002年3月9日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內生產總值達到95 933億元，比上年增長7.3%”，如果“十?五”期間(2001年――2005年)每年的國內生產總值都按此年增長率增長，那么到“十?五”末我國國內年生產總值約為(2002年全國(12)、廣東(12)、天津(12)5分)
A.115 000億元    B.120 000億元        C.127 000億元      D.135 000億元
C

78. 函數(shù)y＝1－的圖像是(2002年全國(10)5分)






A．               B.                    C.                  D.
B

79.若集合M＝{y|y＝2^－x}，P＝{y|y＝}，則M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1}       B．{y|y≥1}           C．{y|y＞0}         D．{y|y≥0}
C

80.若f(x)＝，則方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A．              B．－                C．2                D．－2
A

81.關于函數(shù)f(x)＝(sinx)²－，有下面四個結論：
(1)f(x)是奇函數(shù)                          (2)當x＞2003時， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是                       (4)f(x)的最小值是－
其中正確結論的個數(shù)為(2003年春上海(16)4分)
A.1個            B.2個                C.3個              D.4個
A

1. 設函數(shù)f(x)的定義域是[0，1]，則函數(shù)f(x²)的定義域為________.(85(10)4分)
答：[－1，1]

2. 已知圓的方程為x²＋(y－2)²＝9，用平行于x軸的直線把圓分成上下兩個半圓，則以上半圓(包括端點)為圖像的函數(shù)表達式為_____________(85廣東)
答：y＝2＋

3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
答：x₁＝

4. 方程9^－x－2?3^1－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2

5. 函數(shù)y＝的反函數(shù)的定義域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)

6. 函數(shù)y＝的值域為_______________(89廣東)
答：y≥0

7. 函數(shù)y＝的定義域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)

8. 設函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，若當x≤1時，y＝x²＋1，則當x＞1時，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)²＋1

9. 設函數(shù)f(x)＝x²＋x＋的定義域是[n，n＋1](n是自然數(shù))，那么在f(x)的值域中共有_______個整數(shù)(91年三南)
答：2n＋2

10.    方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1

11.    設含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則的值為__________.(92(21)3分)
答：

12.    已知函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)＝－1(x≥0)，那么函數(shù)f(x)的定義域為_________(92上海)
答：x≥－1

13.  設f(x)＝4^x－2^x＋1(x≥0)，f^－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原題中無條件x≥0，此時f(x)不存在反函數(shù).

14.  函數(shù)y＝x²－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2

15.  在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a₁，a₂，…a_n，共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量:與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a₁，a₂，…a_n推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：

16.  函數(shù)y＝lg的定義域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)

17.  1992年底世界人口達到54.8億，若人口的年平均增長率為x%，2000年底世界人口數(shù)為y(億)，那么y與x的關系式為___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)⁸

18.  方程log₂(9^x－5)＝log₂(3^x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1

19.  函數(shù)y＝的定義域為____________(96上海)
答：(1，2)

20.  lg20＋log₁₀₀25＝________(98上海)
答：2

21.  函數(shù)f(x)＝a^x(a＞0，a≠1)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大，則a＝______(98上海)
答：

22.  函數(shù)y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4

23.  函數(shù)y＝log₂的定義域為____________(2000上海(2)4分)
答：(，3)

24.  已知f(x)＝2^x＋b的反函數(shù)為y＝f^－1(x)，若y＝f^－1(x)的圖像經過點Q(5，2)，則b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1

25.  根據(jù)上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP(GDP是值國內生產總值)4035億元，2000年上海市GDP預期增長9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市人均GDP達到或超過1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300萬)
答：9

26.  設函數(shù)y＝f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖像為如圖所示的線段AB，則在區(qū)間[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x

27.  函數(shù)的反函數(shù)______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)

28.  關于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下命題：(2001年春上海(11)4分)
  (1)對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；
  (2)不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
  (3)存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；
  (4)對任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)。
  其中一個假命題的序號是_______。因為當φ=_______時，該命題的結論不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(兩個空格全填對時才能得分，其中k也可以寫成任何整數(shù))

29.  方程log₃(1－2?3^x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1

30.  已知函數(shù)y＝f(x)(定義域為D，值域為A)有反函數(shù)y＝f^－1(x)，則方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要條件是y＝f^－1(x)滿足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f^－1(0)＝a且f^－1(x)＜x(x∈A)；y＝f^－1(x)的圖像在直線y＝x的下方，且與y軸的交點為(0，a)；……

31.  函數(shù)y＝(x∈(－1，＋∞))圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標為________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)

32.  函數(shù)y＝a^x在[0，1]上的最大值和最小值之和為3，則a＝______(2002年全國(13)4分)
答：2

33.  已知函數(shù)f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全國(16)、廣東(16)、天津(16)4分)
答：

34.  若存在常數(shù)p＞0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)＝f(px－)(x∈R)，則f(x)的一個正周期為_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一個正整數(shù)倍均可)

35.  已知函數(shù)f(x)＝＋1，則f^－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4

36.  已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AÍB，則實數(shù)a的取值范圍是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)

37.  若函數(shù)y＝x²＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的圖象關于直線x＝1對稱，則b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6

1. 解方程  log₄(3－x)＋log_0.25(3＋x)＝log₄(1－x)＋log_0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原對數(shù)方程有意義，可得x的取值范圍是－0.5＜x＜1，
原方程化為log₄    即
解這個方程得x₁＝0，x₂＝7.
其中x₁＝0∈(－，1)是原方程的解，x₂＝7Ï(－，1)，應舍去.

2. 設a，b是兩個實數(shù)，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整數(shù)}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m是整數(shù)}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}是xoy平面內的集合，討論是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同時成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在實數(shù)a和b使得①式成立，則存在整數(shù)m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m²＋15)
即n＝m，   na＋b＝3m²＋15
∴na＋b＝3n²＋15
這個等式表明點P(a，b)在直線l:nx＋y＝3n²＋15上
原點O到直線l的距離d＝
∴d≥12，當且僅當n²＝3時取等號，而n∈Z，∴n²≠3，故只有d＞12
∴點P到原點的距離|PO|＝＞d＞12，即a²＋b²＞144.
而②成立要求a²＋b²≤144.
由此可知，同時滿足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在實數(shù)a，b能同時滿足①②，
同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得na＋b＝3n²＋15，即b＝3n²－na＋15，    (*)
由②成立得a²＋b²≤144
將(*)式代入上式，并按a整理得關于a的二次不等式
    (1＋n²)a²－2n(3n²＋15)a＋(3n²＋15)²－144≤0
它的判別式△＝4n²(3n²＋15)²－4(1＋n²)[(3n²＋15)²－144]＝－36(n²－3)
∵n∈Z，∴n²－3≠0，于是△＜0
又因1＋n²＞0，故這個關于a的不等式不可能有實數(shù)解
即是說不存在實數(shù)a，b，使得①②同時成立.
解法三:如果存在實數(shù)a，b能同時滿足①②，同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得
3n²－an－(b－15)＝0                                       (*)
于是它的判別式應非負，即△＝a²＋12b－180≥0               (**)
由此得12b－180≥－a²
由②成立知a²＋b²≤144，                                  (***)
即         －a²≥b²－144
因此有12b－180≥b²－144
即(b－6)²≤0
只有b＝6
將b＝6代入判別式(**)得出a²≥108
但將b＝6代入(***)式得出a²≤108
于是只有a²＝108，此時從(*)式解出n＝ÏZ
所以不存在實數(shù)a，b，使得①②同時成立.

3. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù):①CÍA∪B，且C中含有3個元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以為A，B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，因此A∪B的元素個數(shù)是12＋12－4＝20個，所以滿足條件①的集合個數(shù)是C，在上面集合中，還滿足A∩C＝φ的集合C的個數(shù)是C，因此所求集合C的個數(shù)為＝1084.
解法二:由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個數(shù)是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1個元素的所求集合C的個數(shù)為C；同理，含A中2個元素和3個元素的集合C的個數(shù)分別為C和C，總數(shù)為C＝1084.

4. 給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝(x∈R且x≠)，證明:
①經過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；
②這個函數(shù)的圖象關于直線y＝x成軸對稱圖形.(88(24)12分)
證法一:①設M₁(x₁，y₁)，M₂(x₂，y₂)是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x₁≠x₂，且
y₂－y₁＝
     ＝
∵a≠1且x₁≠x₂，∴y₂－y₁≠0
從而直線M₁M₂的斜率k＝≠0，因此直線M₁M₂不平行于x軸.
②設點P(x₁，y₁)是這個函數(shù)的圖象上任意一點，則x₁≠        (i)
易知點P(x₁，y₁)關于直線y＝x的對稱點P₁的坐標為(y₁，x₁)
由(i)式得  y₁(ax₁－1)＝x₁－1
變形得     x₁(ay₁－1)＝y(tǒng)₁－1                                        (ii)
假如ay₁－1＝0，則y₁≠，代入(i)得  Þ a＝1
這與已知a≠1矛盾，∴ay₁－1≠0
于是由(ii)式得  x₁=  這說明點P₁(y₁，x₁)也在已知函數(shù)的圖象上
因此這個函數(shù)的圖象關于直線y＝x成軸對稱圖形.
證法二:①設M₁(x₁，y₁)，M₂(x₂，y₂)，是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x₁≠x₂，
假如直線M₁M₂平行于x軸，那么y₁＝y(tǒng)₂，即
去分母整理得  a(x₁－x₂)＝x₁－x₂，
∵x₁≠x₂，所以a＝1，這與已知矛盾，因此M₁M₂不平行于x軸.
②先求所給函數(shù)的反函數(shù).
由  y＝  (x∈R且x≠)
得  y(ax－1)＝x－1    即  x(ay－1)＝y(tǒng)－1
假如ay－1＝0，則y＝，代入所給函數(shù)的解析式，得
即ax－a＝ax－1    所以a＝1，這與已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函數(shù)的反函數(shù)為y＝(x≠)，與原函數(shù)相同.
由于函數(shù)y＝f(x)的圖象和它的反函數(shù)y＝f^－1(x)的圖象關于y＝x對稱，
所以函數(shù) y＝ (x∈R且x≠)的圖象關于y＝x對稱.
證法三:①任取一條與x軸平行的直線l，設其方程為y＝c(c為常數(shù))
下面考慮l與所給函數(shù)的圖象是否相交，以及交點個數(shù)的情況:
將y＝c代入y＝
整理得    (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝時，上式變?yōu)?＝c－1，即c＝1 Þ a＝1
這與已知矛盾，故此時l與函數(shù)圖象無交點；
當ca－1≠0時，得x＝
這說明原方程只有一個解，從而直線l與函數(shù)圖象只有一個交點(，c)，
綜上所述，平行于x軸的直線l不可能同時經過所給函數(shù)圖象上的兩個不同點，
因此，經過這個函數(shù)圖象上任意兩點的直線不平行于x軸.

5. 已知a＞0且a≠1，試求使方程log_a(x－ak)＝log_a2(x²－a²)有解的k的取值范圍.(89(22)12分)
解法一:由對數(shù)函數(shù)的性質可知，原方程的解x應滿足

當①②同時成立時，③顯然成立，因此只須聯(lián)立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k²)                 ④
當k＝0時，由a＞0知④無解，因而原方程無解；
當k≠0時，④的解為x＝       ⑤
將⑤代入②得  ＞ak
當k＜0時得k²＞1，即k＜－1；                                  y   y₁
當k＞0時得k²＜1，即0＜k＜1；                         y₂                y₂
綜合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)時原方程有解.
解法二:原方程等價于  x－ak＝  (x²＞a²)         ak  －a   o    a     x
記y₁＝x－ak，y₂＝ (x≠±a)
則y₂是雙曲線x²－y²＝a²在雙曲線上方的部分其漸近線為y＝±x，
  y₁是一條在x軸上截距為ak的直線，且平行于雙曲線的一條漸近線，
如圖，當y₁與y₂有公共點時原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即當k∈(－∞，－1)∪(0，1)時原方程有解.
注:用數(shù)形結合法解題時應說明或論證出圖象與本題有關的主要性質，否則要扣分.

6. 設f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用I_k表示區(qū)間(2k－1，2k＋1]，已知當x∈I₀時，f(x)＝x².(89(24)10分)
①求f(x)在I_k上的解析表達式；
②對自然數(shù)k，求集合M_k＝{a|使方程f(x)＝ax在I_k上有兩個不相等的實根}
解：①解:設x∈I_k，則x－2k∈I₀，又f(x)是以2為周期的函數(shù)，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)²，
即對于k∈Z，當x∈I_k時，f(x)＝(x－2k)²，
②解法一:當k∈N且x∈I_k時，由①可得方程為(x－2k)²＝ax
整理得    x²－(4k＋a)x＋4k²＝0
它的判別式△＝(4k＋a)－16k²＝a(a＋8k)
且  x_1，2＝
于是，f(x)＝ax在區(qū)間I_k上恰有兩個不相等實數(shù)根的充要條件是a滿足

化簡得
由(i)知a＞0或a＜－8k   (∵k∈N，∴k＞0)
當a＞0時，因2＋a＞2－a，故從(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)²
即       即      即0＜a≤
當a＜－8k時，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)² 無解，
綜上所述，a應滿足0＜a≤，故所求集合為 M_k＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程為(x－2k)²＝ax        (i)                y
記y₁＝ax，y₂＝(x－2k)²，                                                y₁    y₂
要使方程(i)在I_k＝(2k－1，2k＋1]上有兩個相異實數(shù)解，      1
只須y₁與y₂的圖象在內有兩個相異交點.                       o               I_k    x
當x∈I_k時，y₁是一條線段，其所在直線過原點，斜率為a，
y₂是一段拋物線，頂點在(2k，0)，開口向上，如圖:
當y₁夾在x軸與l之間時滿足題意，其斜率應滿足0＜a≤.
故所求集合為 M_k＝{a|0＜a≤}

7. 設f(x)＝lg，其中a是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)，且n≥2.
①如果f(x)當x∈(－∞，1]時有意義，求a的取值范圍；
②如果a∈(0，1]，證明2f(x)＜f(2x)當x≠0時成立.(90(24)10分)
①解:f(x)當x∈(－∞，1]時有意義的條件是
1＋2^x＋3^x＋……＋(n－1)^x＋n^xa＞0      x∈(－∞，1]  n≥2
即a＞－[(]   x∈(－∞，1]         (i)
因為 －()^x  (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函數(shù)，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函數(shù)，
從而它在x＝1時取得最大值，為－[(.
因此(i)式等價于a＞－.
也就是的取值范圍為{a|a＞－}.
②證法一: 2f(x)＜f(2x)   a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2^x＋3^x＋……＋(n－1)^x＋n^xa]²＜n[1＋2^2x＋3^2x＋……＋(n－1)^2x＋n^2xa]
                                            a∈(0，1]，x≠0，
現(xiàn)在用數(shù)學歸納法證明該不等式: