解答題專題訓(xùn)練

1、    求函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的集合．（91高考24）

2、    已知復(fù)數(shù)z=1＋i, 求復(fù)數(shù)的模和輻角的主值．（91高考25）

3、已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點(diǎn)B到平面EFG的距離．（91高考26）

4、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．

5、求sin²20º+ cos²80º＋sin20ºcos80º的值.（92高考24）

6、設(shè)z∈C，解方程z－2|z|=－7+4i.（92高考25）

7、如圖，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA₁與CC₁的中點(diǎn)，求四棱錐的A₁－EBFD₁的體積.（92高考26）

8、已知f (x)=log_a(a>0，a≠1)．(Ⅰ)求f (x)的定義域；

(Ⅱ)判斷f (x)的奇偶性并予以證明；(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范圍．（93高考24）

9、 已知數(shù)列

S_n為其前n項(xiàng)和．計(jì)算得 

觀察上述結(jié)果，推測(cè)出計(jì)算S_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．（93高考25）

10、已知：平面α∩平面β=直線a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直線b．

求證：(Ⅰ)a⊥γ；(Ⅱ)b⊥γ．（93高考26）

11、已知z=1+i．(1)設(shè)ω=z²+3－4，求ω的三角形式；

(2)如果，求實(shí)數(shù)a，b的值．（94高考21）

12、已知函數(shù)f(x)=tgx，x∈(0，)．若x₁，x₂∈(0，)，且x₁≠x₂，證明[f(x₁)+f(x₂)]>f()（94高考22）

13、如圖，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)．

(1)證明AB₁∥平面DBC₁；

(2)假設(shè)AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù)．（94高考23）

14、在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方向依次為Z₁，Z₂，Z₃，O (其中O是原點(diǎn))，已知Z₂對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)．求Z₁和Z₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．（95高考21）

15、求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值．（95高考22）

16、如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求證：AF⊥DB；

(2)如果圓柱與三棱錐D－ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．（95高考23）

17、某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼．設(shè)淡水魚的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似地滿足關(guān)系：

P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，Q=500(8≤x≤14)．

當(dāng)P=Q時(shí)市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格．

(1)將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；

(2)為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元? （95高考24）

18、解不等式log _a(1 ? )>1.（96高考20）

19、已知DABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C 滿足:（96高考21）

20、某地現(xiàn)有耕地10000公頃.規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)?      

(糧食單產(chǎn) = ，  人均糧食占有量 = )（96高考23）

21、如圖,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,EÎBB₁ ,截面A₁EC^側(cè)面AC₁        A               C     

(I).               求證: BE=EB₁;                                                                                    B

(II).            若AA₁=A₁B₁,求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的

度數(shù).  （96高考22）                                                                              E

   注意: 在以下橫線上填上適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(I)的完整證明,并解答(II).                    

(I)證明:在截面A₁EC內(nèi),過E作EG ^ A₁C,G是垂足.              A₁                      C₁

        ÀQ ________________________    \  EG^側(cè)面AC₁;                      B₁

  取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF,FG,由AB=BC得BF^AC,

    Á Q________________________    \ BF^側(cè)面AC₁;

  得BF//EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC₁與FG.               A      F      C

    Â Q __________________________                                      B

       \BE // FG,四邊形BEFG是平行四邊形,BE=FG,

    Ã Q_________________________                                   G

       \ FG //AA₁,  D AA₁C  D FGC,                                                               E         

    Ä Q__________________________                           A₁                       C₁

        \ FG=AA₁/2 = BB₁ /2,即BE = BB₁,                             

         故BE = EB₁.                                                                                                 B₁

(II)解:

22、已知復(fù)數(shù),．復(fù)數(shù),在復(fù)數(shù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,Q．證明是等腰直角三角形（其中為原點(diǎn)）． （97高考20）

23、已知數(shù)列,都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q,其中p> q,且，．設(shè),S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和．求．（97高考21）

24、甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)．已

知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v

(千米/時(shí))的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元．

I．把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定

義域；

II．為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？（97高考22）

25、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．

I．證明ADD₁F；    II．求AE與D₁F所成的角；

III．證明面AED面A₁FD₁；IV．設(shè)AA₁=2,求三棱錐F-A₁ED₁的體積（97高考23）

26、在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)a＋c=2b，A－C=．求sinB的值．（98高考20）

27、如圖，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁ ⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁．以A， B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．（98高考21）

28、如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))．（98高考22）

29、已知斜三棱柱ABC－A₁ B₁ C₁的側(cè)面A₁ ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA₁ ⊥A₁C，AA₁= A₁ C．

Ⅰ．求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大�。�

Ⅱ．求側(cè)面A₁ ABB₁ 與底面ABC所成二面角的大��；

Ⅲ．求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ ABB₁的距離．（98高考23）

30.解不等式（99高考19）

31.設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的值.（99高考20）]

32.如圖，已知正四棱柱，點(diǎn)在棱上，截面∥，且面與底面所成的角為

Ⅰ.求截面的面積；Ⅱ.求異面直線與AC之間的距離；

Ⅲ.求三棱錐的體積.

33、　已知函數(shù)
（I）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（00高考19）

（II）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

34、如圖，已知平行六面體                 的底面ABCD是菱形，且
　　

（I）證明：       ；
　　（II）假定CD=2，        ，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α ?BD- β的平面角的余弦值；
　�。↖II）當(dāng)      的值為多少時(shí)，能使               ？請(qǐng)給出證明。（00高考20）

35、設(shè)函數(shù)                  ，其中a>0。
　�。↖）解不等式f(x)≤1；
　�。↖I）求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)。（00高考21）

36、（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)p；
（II）設(shè)是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。

（00高考22）

37、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。（00高考23）
　　（I）寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P=f(t)；
　　寫出圖二表求援 種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；
　�。↖I）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？　　　　　　　　
　　（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：，時(shí)間單位：天）

38、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（Ⅰ）求四棱錐S―ABCD的體積；

（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.（01高考17）

39、已知復(fù)數(shù)（01高考18）

（Ⅰ）求及|z₁|；   （Ⅱ）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，求的最大值.

40、設(shè)拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC//x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.（01高考19）

41、已知是正整數(shù)，且（01高考20）

（Ⅰ）證明     （Ⅱ）證明

42、從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加

（Ⅰ）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元．寫出a_n，b_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？（01高考21）

43、已知、的值.（02高考17）

44、如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=.

       （Ⅰ）求MN的長；

       （Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最��；

       （Ⅲ）當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.（02高考18）

45．（本小題滿分12分）

       設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（－１，0）、N（1，0）距離之差為2m，

到x軸、y軸距離之比為2.求m的取值范圍. （02高考19）

46．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛? （02高考20）

   （1）證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；

   （2）求點(diǎn)D₁到面BDE的距離.

48．已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且是和的等比中項(xiàng). 求.

49．已知  設(shè)

P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.

50．（本小題滿分12分）

    在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng). 臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

解答題專題訓(xùn)練答案：

1、解：y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=(sin²x＋cos²x)＋2sinxcosx+2cos²x          ――1分

=1sin2x(1＋cos2x)                                        ――3分

=2＋sin2x+cos2x=2+sin(2x+)．                                ――5分

當(dāng)sin(2x+)=－1時(shí)y取得最小值2－．                            ――6分

使y取最小值的x的集合為{x|x=kπ－π，k∈Z}．                     ――8分

2、本小題考查復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算能力．滿分8分．

解：==                        ――2分

=1－i．                                           ――4分

1－i的模r==．

因?yàn)?－i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且tgθ=－1，所以輻角主值θ=π．          ――8分

3、本小題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力．滿分10分．

解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O． 因?yàn)?i>ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．

BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾．

由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．                                  ――4分

∵ BD⊥AC，∴ EF⊥HC．

∵ GC⊥平面ABCD，∴ EF⊥GC，

∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．                ――6分

作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．                                           ――8分

∵ 正方形ABCD的邊長為4，GC=2，∴ AC=4，HO=，HC=3．

∴ 在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=．

即點(diǎn)B到平面EFG的距離為．                                  ――10分

注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分．

4、本小題考查函數(shù)單調(diào)性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．

證法一：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂且x₁<x₂                            ――1分

則f (x₂) －f (x₁) == (x₁－x₂) ()                     ――3分

∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0．                                         ――4分

當(dāng)x₁x₂<0時(shí)，有= (x₁+x₂) ²－x₁x₂>0；                      ――6分

當(dāng)x₁x₂≥0時(shí)，有>0；

∴ f (x₂)－f (x₁)= (x₁－x₂)()<0．                          ――8分

即  f (x₂) < f (x₁).所以，函數(shù)f(x)=－x₃+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．       ――10分

證法二：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁<x₂，                       ――1分

則 f (x₂)－f (x₁)=x－x= (x₁－x₂) ()．                   ――3分

∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0．                                       ――4分

∵ x₁，x₂不同時(shí)為零，∴ x＋x>0．

又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x₁x₂|≥－x₁x₂   ∴ >0，

   ∴  f (x₂)－f (x₁) = (x₁－x₂) ()<0．                     ――8分

即 f (x₂) < f (x₁)．所以，函數(shù)f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．    ――10分

5、本小題主要考查三角函數(shù)恒等變形知識(shí)和運(yùn)算能力.滿分9分.

解 sin²20º+cos²80º＋sin²20ºcos80º

=(sin100º－sin60º)                    ――3分

=1＋(cos160º－cos40º)+sin100º－                            ――5分

=－?2sin100ºsin60º＋sin100º                                ――7分

=－sin100º＋sin100º=.                                  ――9分

6、本小題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件及解方程的知識(shí).滿分10分.

解 設(shè) z=x＋yi  (x，y∈R).依題意有

x＋yi－2=－7+4i                                            ――2分

由復(fù)數(shù)相等的定義，得

             ――5分

將②代入①式，得x－2  =－7.

解此方程并經(jīng)檢驗(yàn)得x₁=3，  x₂=.                                    ――8分

∴ z₁ =3＋4i， z₂=＋4i.                                             ――10分

7、本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及空間想象能力和邏輯推理能力.滿分10分.

解法一 ∵ EB=BF=FD₁=D₁E==a，

∴ 四棱錐A₁－EBFD₁的底面是菱形.                                    ――2分

連結(jié)A₁C₁、EF、BD₁，則A₁C₁∥EF.

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，A₁C₁平行于A₁－EBFD₁的底面，從而A₁C₁到底面EBFD₁的距離就是A₁－EBFD₁的高                                         ――4分

設(shè)G、H分別是A₁C₁、EF的中點(diǎn)，連結(jié)D₁G、GH，則FH⊥HG， FH⊥HD₁

根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，有

FH⊥平面HGD₁，

又，四棱錐A₁－EBFD₁的底面過FH，

根據(jù)兩平面垂直的判定定理，有

A₁－EBFD₁的底面⊥平面HGD₁.

作GK⊥HD₁于K，根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，有

GK垂直于A₁－EBFD₁的底面.                                         ――6分

∵ 正方體的對(duì)角面AA₁CC₁垂直于底面A₁B₁C₁D₁,∴ ∠HGD₁=90º.

在Rt△HGD₁內(nèi)，GD₁=a，HG=a，HD₁==a.

∴ a?GK=a?a，從而GK=a.                               ――8分

∴ =?GK=??EF?BD₁?GK

=?a?a?a=a³                                          ――10分

解法二 ∵ EB=BF=FD₁=D₁E==a，

∴ 四菱錐A₁－EBFD₁的底面是菱形.                                    ――2分

連結(jié)EF，則△EFB≌△EFD₁.

∵ 三棱錐A₁－EFB與三棱錐A₁－EFD₁等底同高，

∴ .

∴ .               ――4分

又 ，

∴ ，              ――6分

∵ CC₁∥平面ABB₁A₁，

∴ 三棱錐F－EBA₁的高就是CC₁到平面ABB₁A₁的距離，即棱長a.         ――8分

又 △EBA₁邊EA₁上的高為a.

∴ =2???a=a³.           ――10分

8、本小題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)和解法等基本知識(shí)及運(yùn)算能力．滿分12分．

解  (Ⅰ)由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知．                             ――1分

如果，則－1<x<1；

如果，則不等式組無解．                                  ――4分

故f (x)的定義域?yàn)?－1，1)

(Ⅱ) ∵ ，

∴ f (x)為奇函數(shù)．                                                ――6分

(Ⅲ)(?)對(duì)a>1，log_a等價(jià)于，                          ①

而從(Ⅰ)知1－x>0，故①等價(jià)于1+x>1－x，又等價(jià)于x>0．

故對(duì)a>1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)有f(x)>0．                                   ――9分

(?)對(duì)0<a<1，log_a等價(jià)于0<．                           ②

而從(Ⅰ)知1－x>0，故②等價(jià)于－1<x<0．

故對(duì)0<a<1，當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)有f(x)>0．                                ――12分

9、本小題考查觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法．滿分10分．

解  ．                                     ――4分

證明如下：

(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立．                            ――6分

(Ⅱ)設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即

                                                  ――7分

則  =

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．                                   ――9分

根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式對(duì)任何n∈N都成立．                           ――10分

10、本小題考查直線與平面的平行、垂直和兩平面垂直的基礎(chǔ)知識(shí)，及空間想象能力和邏輯思維能力．滿分12分．

證法一(Ⅰ)設(shè)α∩γ=AB，β∩γ=AC．

在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P并于γ內(nèi)作直線PM⊥AB，PN⊥AC．      ――1分

∵ γ⊥α，∴ PM⊥α．

而  aα，∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．            ――4分

又  PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．              ――6分

(Ⅱ)于a上任取點(diǎn)Q，

過b與Q作一平面交α于直線a₁，交β于直線a₂．    ――7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．同理b∥a₂．                                ――8分

∵ a₁，a₂同過Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．又  a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交線，即都重合于a．                           ――10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．而a⊥γ，

∴ b⊥γ．                                                         ――12分

注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分．

證法二(Ⅰ)在a上任取一點(diǎn)P，過P作直線a′⊥γ．                    ――1分

∵ α⊥γ，P∈α，∴ a′α．

同理a′β．                      ――3分

可見a′是α，β的交線．

因而a′重合于a．                   ――5分

又  a′⊥γ，

∴ a⊥γ．                          ――6分

(Ⅱ)于α內(nèi)任取不在a上的一點(diǎn)，過b和該點(diǎn)作平面

與α交于直線c．同法過b作平面與β交于直線d．                  ――7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．                                                    ――8分

又  cβ，dβ，可見c與d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．                                                        ――9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．                                                         ――10分

∵ b∥c，a∥c，b與a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．                                                          ――11分

而 a⊥γ，∴ b⊥γ．                                           ――12分

注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分．

11．本小題考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的三角形式等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)算能力．

解：(1)由z＝1+i，有

ω=z²+3－4  =(1+i)²+3－4  =2i+3(1－i)－4=－1－i，

ω的三角形式是．

(2)由z=1+i，有

       =

由題設(shè)條件知(a+2)－(a+b)i=1－i．

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得解得

12．本小題考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、三角函數(shù)性質(zhì)及推理能力．

證明：

tgx₁+tgx₂=

∵x₁，x₂∈(0，)，x₁≠x₂，

∴2sin(x₁+x₂)>0，cos x₁cosx₂>0，且0<cos (x₁－x₂)<1，

從而有0<cos (x₁+x₂)+cos (x₁－x₂)<1+cos (x₁+x₂)，

由此得tgx₁+tgx₂>，∴( tgx₁+tgx₂)>tg，

即[f(x₁)+f(x₂)]>f()

13．本小題考查空間線面關(guān)系、正棱柱的性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力．

(1)證明：

∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．

連結(jié)B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連結(jié)DE．

在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連結(jié)EF，則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．

∵AB₁⊥BC₁，

由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．

設(shè)AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，

DF=DC?sinC=，CF=DC?cosC=．取BC中點(diǎn)G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．

在Rt△BEF中，

EF²=BF?GF，又BF=BC－FC=，GF=，

∴EF²=?，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．

故二面角α為45°．

14、本小題主要考查復(fù)數(shù)基本概念和幾何意義，以及運(yùn)算能力．

解：設(shè)Z₁，Z₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z₁，z₃，依題設(shè)得

  =

15、本小題主要考查三角恒等式和運(yùn)算能力．

解：  原式

16．本小題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力．

(1)證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE．

∵EB平面ABE，∴DA⊥EB．

∵AB是圓柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．

∵AF平面DAE，∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．

∵DB平面DEB，∴AF⊥DB．

(2)解：過點(diǎn)E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH．根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線．且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．

又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角．

設(shè)圓柱的底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是V圓柱=2πR³，

由V_圓柱：V_D－ABE=3π，得EH=R，可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，

DH=

∴∠EDH=arcctg=arcctg，

17．本小題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力，以及函數(shù)的概念、方程和不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)和方法．

解：(1)依題設(shè)有1000(x+t－8)=500，

化簡得             5x²+(8t－80)x+(4t²－64t+280)=0．

當(dāng)判別式△=800－16t²≥0時(shí)，

可得                   x=8－±．

由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式組：

①

②

解不等式組①，得0≤t≤，不等式組②無解．故所求的函數(shù)關(guān)系式為

函數(shù)的定義域?yàn)閇0，]．

(2)為使x≤10，應(yīng)有

8≤10

化簡得            t²+4t－5≥0．

解得t≥1或t≤－5，由t≥0知t≥1．從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元．

18、本小題考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對(duì)數(shù)不等式的解法，分類討論的方法和運(yùn)算能力．滿分11分．

解：(Ⅰ)當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

                                                                                               ――2分

由此得．

因?yàn)?－a<0，所以x<0，

∴                                                                                       ――5分

(Ⅱ)當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

由①得，x>1或x<0，

由②得，

∴                                                                                         ――10分

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為