2008－2009學年高三第二次調(diào)研考試試題

文科數(shù)學（必修＋選修I）

       本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分． 第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．

第I卷

注意事項：

1．答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．

2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效．

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么．

如果事件A、B相互獨立，那么．

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率

．

球的表面積公式，其中R表示球的半徑．

球的體積公式，其中R表示球的半徑．

一、選擇題：

1．設全集，集合，則下面結(jié)論正確的是    

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     （A）                                     （B）

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     （C）                                           （D）

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2. 若的                                                      

       （A）充分不必要條件                             （B）必要不充分條件

       （C）充要條件                                        （D）既不充分也不必要條件

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3. 函數(shù)的最大值為

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（A）1        （B）         （C）          （D）2

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4．若函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，4），則的值是       

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    （A）         （B）4            （C）2            （D）

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5．設函數(shù) 則的值為

（A）－2                    （B）2                 （C）－4                     （D）4

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6．將棱長為1的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積為 

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       （A）            （B）            （C）                （D）

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7．若離心率為的橢圓以雙曲線的焦點為焦點，則此橢圓的方程為

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（A） （B）       （C） （D）

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8．展開式中的常數(shù)項是

(A)　 －84             (B) 84                     (C)　－36                 (D) 36　

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9. 若直線將圓的周長平分為長度相等的兩部分，則的最小值是

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       （A）2                    （B）4               （C） 　　　（D）

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10．在某次數(shù)學測驗中，學號為的四位同學的成績，且滿足，則這四位同學的測驗成績可能有

       （A）15種情況        （B）10種情況        （C）9種情況         （D）5種情況

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11．若P是兩條異面直線l，m外一點，則過點P

（A）有且僅有一條直線與l，m都平行    （B）有且僅有一條直線與l，m都垂直

（C）有且僅有一條直線與l，m都相交    （D）有且僅有一條直線與l，m都不相交

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12．函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導，若，且當時，，則的大小關系是

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（A）　　　（B）　　�。–）　　�。―）

 

第Ⅱ卷

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．

13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有教師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數(shù)為80人，則n的值為：

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14．若a、b、c依次為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：

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15．若、滿足約束條件的最大值為：

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16．若，且，則實數(shù)x的取值范圍是：

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三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區(qū)中．

17．（本小題滿分10分）

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如圖，已知，，且，．

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（I）試用表示；

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（Ⅱ）設向量和的夾角為，求的值．

 

 

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18．（本小題滿分10分）

試題詳情

甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．

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（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到崗位服務的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2．

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小．

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

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數(shù)列滿足，且．

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   （I）求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；

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   （II）求．

 

 

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21.（本小題滿分13分）

試題詳情

已知函數(shù)，在任意一點處的切線的斜率為.

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（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（II）若在上的最小值為，求在R上的極大值.

 

 

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22．（本小題滿分13分）

試題詳情

如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．

（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；

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（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明為定值，并求此定值．

 

 

 

 

 

 

2008－2009學年高三第二次調(diào)研考試試題

文科數(shù)學答案

 

試題詳情

一、選擇題：每小題5分，共60分．

       BABDB   DCABD  BD

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．

13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有老師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數(shù)為80人，則n的值為：16

14．若△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：

15．若、滿足約束條件的最大值為：2

16．若，且，則實數(shù)x的取值范圍是：

三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區(qū)中．

17．（本小題滿分10分）

如圖，已知，，且，．

（I）試用表示；

（Ⅱ）設向量和的夾角為，求的值．

解：（I）設，則

      ，；            …………3分

因，，，

       所以         解得：                                                  

       即 ．                                                                                  …………5分

（Ⅱ）由（I）知 ，又，

所以 ) ()=，                                     

                            …………8分

故 ．                                                      …………10分

18．（本小題滿分10分）

甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到崗位服務的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．

解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時被分到崗位服務為事件，

那么，

即甲、乙兩人同時被分到崗位服務的概率是．                                       …………5分

（Ⅱ）設甲、乙兩人同時被分到同一崗位服務為事件，

那么，

故甲、乙兩人被分到不同崗位服務的概率是．         …………10分

19．（本小題滿分12分）

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2．

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大�。�

 

解:(方法一)

（Ⅰ）連結(jié)OC．∵BO=DO，AB=AD， BC=CD，

∴AO⊥BD，CO⊥BD．                                        …………3分

在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=，

∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

 ∴AO平面BCD．            …………6分

（Ⅱ）分別取AC、BC的中點M、E，連結(jié)OM、ME、OE，則

                  ME∥AB，OE∥DC．     

∴（或其補角）等于異面直線AB與CD所成的角．                    …………9分

在△OME中，                                   

又 是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為                                                 …………12分

(方法二)

（Ⅰ）同方法一．                                                …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．

以O為原點，建立空間直角坐標系如圖，   …………7分

則A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ．        …………10分

所以 ，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為                                         …………12分

20．（本小題滿分12分）

數(shù)列滿足，且．

   （I）求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；

   （II）求．

解：（I），

           ；                       …………2分

  又，，                    …………4分

    且  

    所以數(shù)列是以-2為首項，3為公比的等比數(shù)列．                   …………6分

   （II）由（I）得，    ．                  …………8分

   

                               …………10分

                                    …………12分

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，在任意一點處的切線的斜率為.

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若在上的最小值為，求在R上的極大值.

21. 解：（I）因,所以；  …………2分

故  , ，，，

 ,   .                  …………4分

由知在和上是增函數(shù)，

由知在（-1，2）上為減函數(shù).               …………8分

（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函數(shù)，在（-1，2）上為減函數(shù)，

所以 在上的最小值是或，極大值為.       …………10分

而，,，

∴在上的最小值是,∴,.   …………12分

，

即所求函數(shù)在R上的極大值為                                 …………13分

22．（本小題滿分13分）

如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．

（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；

（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明為定值，并求此定值．

解：（I）設拋物線的標準方程為，則，從而．

因此拋物線焦點F的坐標為（2，0），準線方程為．                      ……………4分

（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C、D，

則由拋物線的定義知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．

記A、B的橫坐標分別為xA、xB，則

|FA|＝|AC|＝

解得；                                          ……………7分

|FB|＝|BD|＝

解得．                                                                           ……………9分

記直線m與AB的交點為E，則

，

所以．                                                                  ……………12分

故．                 ……………13分

 

 

 

 


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