2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座二

直角坐標(biāo)下通過幾何圖形列函數(shù)式問題

【知識(shí)縱橫】

以平面直角坐標(biāo)系為背景，通過幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化中兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步研究幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。但在坐標(biāo)系中，每一個(gè)坐標(biāo)由一對(duì)的序?qū)崝?shù)對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)的正負(fù)之分，而線段長度值均為正的，注意這一點(diǎn)，就可類似于講座一的方法解決。所列函數(shù)式有：反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。

【典型例題】

【例1】（黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，且滿足．

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）注意坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系；

（2）求得（3）分類討論。

【例2】（廣東東莞）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)CD．

(1)填空：如圖1，AC=         ，BD=         ；四邊形ABCD是       梯形.

(2)請(qǐng)寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖2，若以AB所在直線為軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖10

的平面直角坐標(biāo)系，保持ΔABD不動(dòng)，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值值范圍.

                圖1

【思路點(diǎn)撥】（2）有9對(duì)相似三角形. ；（3）用t的變量表示相關(guān)線段，利用面積公式計(jì)算，注意自變量的取值范圍。

【例3】（河北）如圖，直角梯形中，∥,為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），∠= 60°，于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.

（1）       求的長；

（2）       若的面積為（平方單位）. 求與之間的函數(shù)關(guān)系式.并求為何值時(shí)，    的面積最大，最大值是多少？

（3）       設(shè)與交于點(diǎn).①當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求（2）中的值.

②探究線段長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論.

【思路點(diǎn)撥】（3）若為等腰三角形，分三種情況

討論，再進(jìn)行比較，從而求出線段長的最大值。

                                                               圖

【例4】（（甘肅蘭州）如圖1，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，．

（1）在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若上有一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）自點(diǎn)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（），過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)的坐標(biāo)．

【思路點(diǎn)撥】（1）折痕是四邊形的對(duì)稱軸

（2）四邊形為矩形．

（3）為等腰三角形分類討論。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、(諸暨中學(xué))如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：

（1）當(dāng)△AOC和△BCP全等時(shí)，求出t的值。

（2）通過動(dòng)手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的

大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,b）,試寫出b關(guān)于t的函數(shù)

關(guān)系式和變量t的取值范圍。②求出當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

2、 ( 湖北天門)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)．動(dòng)

點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)了x秒．

(1)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(________________，________________)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△AMN為等腰三角形？

(3)如圖②，連結(jié)ON得△OMN，△OMN可能為正三角形嗎？若不能，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度不變，

試改變點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度，使△OMN為正三角形，并求出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和此時(shí)x的值．

3、 (吉林省長春市) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，以為邊作矩形，為的中點(diǎn)．以，為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)在第一象限，設(shè)矩形與重疊部分的面積為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)值由小到大變化時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式．

（3）若在直線上存在點(diǎn)，

使等于，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

(4)在值的變化過程中，若為等腰三

角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的值．

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