北京市西城區(qū)2008年抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷(理科)                        2008.5

學(xué)校__________    班級__________    姓名__________

題號

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

第一卷(選擇題  共40分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.設(shè)A，B是全集I的兩個子集，且AB，則下列結(jié)論一定正確的是(    )

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A.I=AB           B.I=AB           C.I=B(A)          D.I=A(B)

試題詳情

2.設(shè)m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，且m，nα.則“α//β”是“m//β且n//β的(    )

A.充分但不必要條件                      B.必要但不充分條件

C.充要條件                              D.既不充分又不必要條件

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3.設(shè)x，yR，且2y是l+x和1-x的等比中項，則動點(x，y)的軌跡為除去x軸上點的(    )

A.一條直線                              B.一個圓

C.雙曲線的一支                          D.一個橢圓

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4.圓(x-1)2+y2=1被直線x-y=0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為(    )

A.1：2               B.1：3             C.1：4              D.1：5

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5.設(shè)定點A(0，1)，動點P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件則|PA|的最小值是(    )

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A.               B.              C.1                D.

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6.從5名奧運志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項不同的工作，每人承擔(dān)一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有(    )

A.24種              B.36種              C.48種              D.60種

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7.已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點，且++=，那么一定有(    )

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A.=2                              B.=2

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C.=2                              D.=2

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8.設(shè)a>l，函數(shù)y=|logax|的定義域為[m，n](m<n)，值域為[0，1].定義“區(qū)間[m，n]的長度等于n-m”，若區(qū)間[m，n]長度的最小值為，則實數(shù)a的值為(    )

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A.11                 B.6                  C.                 D.

北京市西城區(qū)2008年抽樣測試

試題詳情

                                  高三數(shù)學(xué)試卷(理科)                      2008.5

學(xué)校_________  班級_________  姓名_________

第二卷(非選擇題 共110分)

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二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.)

9.若復(fù)數(shù)i?(2+bi)是純虛數(shù)，則實數(shù)b=___________.

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10.設(shè)α是第三象限角，tanα=，則cosα=__________.

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11.在(2x+1)4的展開式中，x2的系數(shù)是___________；展開式中各項系數(shù)的和為__________.

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12.設(shè)向量a=(1，x)，b=(2，1-x)，若a?b<0，則實數(shù)x的取值范圍是___________.

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13.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點的距離為___________；三棱錐D-ABC的體積是___________.

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14.設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域分別為Df，Dg，且DfDg.若對于任意xDf，都有g(shù)(x)=f(x)，則稱函數(shù)g(x)為f(x)在Dg上的一個延拓函數(shù).設(shè)f(x)=2x(x≤0)，g(x)為f(x)在R上的一個延拓函數(shù)，且g(x)是偶函數(shù)，則g(x)=____________.

試題詳情

三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分12分)

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    某項競賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題，規(guī)定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過與否相互獨立.

(Ⅰ)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；

(Ⅱ)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差.

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16.(本小題滿分12分)

試題詳情

設(shè)φ(0，)，函數(shù)f(x)=sin2(x+φ)，且f()=.

(Ⅰ)求φ的值；

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(Ⅱ)若x[0,]，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

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17.(本小題滿分14分)

試題詳情

如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=，

AB=1，E是DD1的中點.

試題詳情

(Ⅰ)求直線B1D和平面A1ADD1所成角的大��；

(Ⅱ)求證：B1D⊥AE；

(Ⅲ)求二面角C-AE-D的大小.

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18.(本小題滿分14分)

試題詳情

    在數(shù)列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3 (n≥2，且nN*).

(Ⅰ)求a2，a3的值；

試題詳情

(Ⅱ)設(shè)bn=(nN*)，證明：{bn}是等差數(shù)列；

(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

試題詳情

19.(本小題滿分14分)

    已知拋物線的方程為x2=2py(p>0)，過點p(0，p)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2相交于點M.

(Ⅰ)證明：直線l1和l2的斜率之積為定值；

(Ⅱ)求點M的軌跡方程.

試題詳情

20.(本小題滿分14分)

    已知函數(shù)f(x)=ex-x(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

試題詳情

(Ⅱ)設(shè)不等式f(x)>-ax的解集為P，且{x|0≤}x≤2}P，求實數(shù)a的取值范圍；

試題詳情

(Ⅲ)設(shè)nN*，證明：<.

試題詳情

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.C         2.A        3.D        4.B        5.A    6.C    7.D    8.B

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.0                                 10.                    11.24；81

12.(―∞，―1)∪（2，+∞)             13.1；                  14.2-|x|

注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，“該選手通過決賽”為事件C，

則P(A)=，P(B)=，P(C)=.

那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是

P=P()=P(A)P()=×.                                        5分

(Ⅱ)解：

ξ可能的取值為1，2，3.                                                     6分

P(ξ-1)=P=1

P(ξ=2)=P()=P(A)P()=，

P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=×.                                          9分

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×                                    11分

ξ的方差Dξ=                12分

16.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

∵f=sin2(1+sin2)=                 4分

∴sin2.

∵,

∴

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sin2                              8分

∵0≤x≤                                    9分

當(dāng)2x+=π，即x=時，cos取得最小值-1.                         11分

∴f(x)在上的最大值為1，此時x=                                  12分

17.(本小題滿分14分)

解法一：

(Ⅰ)解：

連結(jié)A1D.

∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，

∴A1B1⊥平面A1ADD1，

∴A1D是B1D在平A1ADD1上的射影，

∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角.                                2分

在RtΔB1A1D中，      tanA1DB1=

∴∠A1DB1=30°，

即直線B1D和平面A1ADD1，所成角的大小是30°                               4分

(Ⅱ)證明：

在Rt△A1AD和Rt△ADE中，

∵,

∴A1AD―△ADE，

∴∠A1DA=∠AED．

∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，

∴A1D⊥AE．                                                               7分

由(Ⅰ)知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影,

根據(jù)三垂線定理得，B1D⊥AE．                                               9分

(Ⅲ)解：

設(shè)A1D∩AE=F，連結(jié)CF．

∵CD⊥平面A1ADD1,且AE⊥DF，

根據(jù)三垂線定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．                                        11分

在Rt△ADE中，由AD?DE=AE?DF.

在Rt△FDC中，tan DFC=

∴∠DFC=60°，

即二面角C-AE-D的大小是60°                                              14分

解法二：

∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，

∴DA、DC、DD1兩兩互相垂直．

如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

1分

則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,).

(Ⅰ)解：

連結(jié)A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，

∴A1B1⊥平面A1ADD1,

∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，

∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角．                               4分

∵A1，                          ∴

∴cos

∴∠A1DB1=30°，

即直線B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°,                                 6分

(Ⅱ)證明：

∵E是DD1的中點      ∴E,                  ∴

∵=-1+0+1=0，

∴B1D⊥AE．                                                             9分

(Ⅲ)解：

設(shè)A1D∩AE=F，連結(jié)CF．

∵CD⊥平面A1ADD1,   且AE⊥DF；

根據(jù)三垂線定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．                                      11分

根據(jù)平面幾何知識，可求得F

∴

∴cos,

∴二面角C-AE-D的大小是60°                                             14分

18．(本小題滿分14分)

（Ⅰ）解：

∵a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)，

∴a2=2a1+22+3=1                                                         2分

a3=2a2+23+3=13．                                                        4分

（Ⅱ）證明：

證法一：對于任意nN*，

∵bn+1-bn=[(an+1-2an)-3]=[(2n+1+3)-3]=1，

∴數(shù)列{bn}是首項為==0，公差為1的等差數(shù)列.                 9分

證法二：對于任意nN*，

∵2bn+1-(bn+bn+2)=2×=（4an+1-4an-an+2-3）

              =[2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)-3]=[2(2n+1+3)-(2n+2+3)-3]=0，

∴2bn+1=bn+bn+2，

∴數(shù)例{bn}是首項為=0，公差為b2-b1=1的等差數(shù)列.             9分

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）得，=0 + (n-1)×1，

∴an=(n-1)?2n-3(nN*).                                                   10分

∴Sn=-3+（1×22-3）+（2×23-3）+…+[（n-1）?2n-3]，

即Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n-3n.

設(shè)Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n，

則2Tn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)?2n+1，

兩式相減得，-Tn=22+23+24+…+2n-（n-1）?2n+1=-(n-1)?2n+1，

整理得，Tn=4+（n-2）?2n+1，

從而Sn=4+(n-2)?2n+1-3n(nN*).                                             14分

19．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：

依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+p，

將其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0.                                 2分

設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1x2=-2p2.                      3分

將拋物線的方程改寫為y=，求導(dǎo)得y′=

所以過點A的切線l1的斜率是k1=，過點B的切線l2的斜率是k2=，

故k1k2=，所以直線l1和l2的斜率之積為定值-2.                     6分

（Ⅱ）解：

設(shè)M（x,y）.因為直線l1的方程為y-y1=k1(x-x1)，即，

同理，直線l2的方程為，

聯(lián)立這兩個方程，消去y得，

整理得(x1-x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.               10分

此時y=.              12分

由(Ⅰ)知，x1+x2=2pk，所以x==pkR,

所以點M的軌跡方程是y=-p.                                              14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解：

f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-1.

令f′(x)＞0，解得x＞0；令f′(x)＜0，解得x＜0.

從而f(x)在(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x=0時，f(x)取得最小值1.                                            3分

(Ⅱ)解：

因為不等式f(x)＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}P，

所以對于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立.                                4分

由f(x)＞ax，得(a+1)x＜ex.

當(dāng)x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈(0,2]的情況.                     5分

將（a+1）x＜ex變形為a＜，

令g（x）=-1，則g(x)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=，

令g′(x)＞0，解得x＞1；令g′(x)＜0，解得x＜1.

從而g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x=1時，g（x）取得最小值e-1，

從而實數(shù)a的取值范圍是（－∞，e-1）.                                        8分

(Ⅲ)證明：

由(Ⅰ)得，對于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex.                            9分

令x=(n∈N*,i=1，2，…，n-1)，  則0＜1＜

∴  (i=1，2，…，n-1)，

即  (i=1，2，…，n-1).

∴

∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=，

∴                                                        14分

 


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