2009潞河中學高三解析幾何三輪訓練題

1已知拋物線拱橋的頂點距水面2米，測量水面寬度為8米，當水面上升1米后，求此時水面的寬度.

2．（本小題滿分14分）2008年北京奧運會中國跳水夢之隊取得了輝煌的成績。

據(jù)科學測算，跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，

身體（看成一點）在空中的運動軌跡（如圖所示）是

一經(jīng)過坐標原點的拋物線（圖中標出數(shù)字為已知條件），

且在跳某個規(guī)定的翻騰動作時，正常情況下運動員在空

中的最高點距水面米，入水處距池邊4米，同時

運動員在距水面5米或5米以上時，必須完成規(guī)定的

翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤。

(Ⅰ)求這個拋物線的解析式；

(Ⅱ)在某次試跳中，測得運動員在空中的運動軌跡

為(Ⅰ)中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時

距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？

請通過計算說明理由；

(Ⅲ)某運動員按(Ⅰ)中拋物線運行，要使得此次跳水成功，他在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應為多大？

3已知定圓圓心為A，動圓M過點，且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)若點為曲線C上一點，探究直線與曲線C是否存在交點? 若存在則求出交點坐標, 若不存在請說明理由．

4. 已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且

   （1）求直線AB的方程；

   （2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

5. 已知點C（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

（1）當點P在y軸上運動時，求點M的軌跡C的方程；

（2）是否存在一個點H，使得以過H點的動直線L被軌跡C截得的線段AB為直徑的圓始終過原點O。若存在，求出這個點的坐標，若不存在說明理由。

6. 如圖，已知定點，動點P在y軸上運動，過點P作交x軸于點M，延長MP到N，使

⑴求動點N的軌跡C的方程；

⑵設直線與動點N的軌跡C交于A，B兩點，

若若線段AB的長度滿足：

，求直線的斜率的取值范圍。

7. 在中,點分線段所成的比為,以、所在的直線為漸近線且離心率為的雙曲線恰好經(jīng)過點.

⑴求雙曲線的標準方程;

⑵若直線與雙曲線交于不同的兩點、,且、兩點都在以點為圓心的同一圓上,求實數(shù)的取值范圍.

8. 橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．

（1）求橢圓方程；

（2）點P是橢圓上一點，求的最值；

（3）若，求m的取值范圍．

9. 已知正方形的外接圓方程為，A、B、C、D按逆時針方向排列，正方形一邊CD所在直線的方向向量為(3，1)．

（1）求正方形對角線AC與BD所在直線的方程；

（2）若頂點在原點，焦點在軸上的拋物線E經(jīng)過正方形在x軸上方的兩個頂點A、B，求拋物線E的方程．

解析幾何訓練題答案

1已知拋物線拱橋的頂點距水面2米，測量水面寬度為8米，當水面上升1米后，求此時水面的寬度.

解:以拱橋的頂點為原點，建立坐標系如圖，

設拋物線方程為，

取點A(4,-2)代入方程得p=4,

所以拋物方程為

故當水面上升1米時，即y=-1

此時,則水寬度為

2．（本小題滿分14分）2008年北京奧運會中國跳水夢之隊取得了輝煌的成績。

據(jù)科學測算，跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，

身體（看成一點）在空中的運動軌跡（如圖所示）是

一經(jīng)過坐標原點的拋物線（圖中標出數(shù)字為已知條件），

且在跳某個規(guī)定的翻騰動作時，正常情況下運動員在空

中的最高點距水面米，入水處距池邊4米，同時

運動員在距水面5米或5米以上時，必須完成規(guī)定的

翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤。

(Ⅰ)求這個拋物線的解析式；

(Ⅱ)在某次試跳中，測得運動員在空中的運動軌跡

為(Ⅰ)中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時

距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？

請通過計算說明理由；

(Ⅲ)某運動員按(Ⅰ)中拋物線運行，要使得此次跳水成功，他在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應為多大？

.解：(Ⅰ) 由題設可設拋物線方程為,且

     ∴;

即

∴且,得且

∴,所以解析式為：  

(Ⅱ) 當運動員在空中距池邊的水平距離為米時，即時，

所以此時運動員距水面距離為，故此次跳水會出現(xiàn)失誤

(Ⅲ) 設要使跳水成功,調(diào)整好入水姿勢時,距池邊的水平距離為,

則.

  ∴,即∴

 所以運動員此時距池邊的水平距離最大為米。

3已知定圓圓心為A，動圓M過點，且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)若點為曲線C上一點，探究直線與曲線C是否存在交點? 若存在則求出交點坐標, 若不存在請說明理由．

解：(Ⅰ) 圓A的圓心為，  

設動圓M的圓心為

由|AB|=，可知點B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r₁-r₂，

即|MA|+|MB|=4，

所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設橢圓方程為，

由

故曲線C的方程為

(Ⅱ)當，

  …

消去    ①    

由點為曲線C上一點，

于是方程①可以化簡為 解得，

綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個交點，交點為.   …………… 14分

4. 已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且

   （1）求直線AB的方程；

   （2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

4. （1）設直線AB：代入得

            （＊）

        令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程的兩根

        ∴   且    

        ∵     ∴  N是AB的中點   ∴ 

        ∴      k = 1    ∴AB方程為：y = x + 1  

   （2）將k = 1代入方程（＊）得   或  

        由得，

        ∴  ，

        ∵      ∴  CD垂直平分AB    ∴  CD所在直線方程為

        即代入雙曲線方程整理得

        令，及CD中點

        則，，  ∴， 

        |CD| =，

        ，即A、B、C、D到M距離相等

        ∴  A、B、C、D四點共圓.

5. 已知點C（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

（1）當點P在y軸上運動時，求點M的軌跡C的方程；

（2）是否存在一個點H，使得以過H點的動直線L被軌跡C截得的線段AB為直徑的圓始終過原點O。若存在，求出這個點的坐標，若不存在說明理由。

解（1）設M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)

則    由得3s―t²=0………………①

又由得

，     ……………………②

把②代入①得=0，即y²=4x，又x≠0

∴點M的軌跡方程為：y²=4x（x≠0）

（2）如圖示，假設存在點H，滿足題意，則

設，則由可得

解得

又

則直線AB的方程為：

即把代入，化簡得

令y=0代入得x=4，∴動直線AB過定點（4，0）

答，存在點H（4，0），滿足題意。

6. 如圖，已知定點，動點P在y軸上運動，過點P作交x軸于點M，延長MP到N，使

⑴求動點N的軌跡C的方程；

⑵設直線與動點N的軌跡C交于A，B兩點，

若若線段AB的長度滿足：

，求直線的斜率的取值范圍。

解(1) 設動點則直線的方程為，令。是MN的中點，，故，消去得N的軌跡C的方程為.

(2) 直線的方程為，直線與拋物線的交點坐標分別為,由得，

  又由得

  由可得，解得的取值范圍是

7. 在中,點分線段所成的比為,以、所在的直線為漸近線且離心率為的雙曲線恰好經(jīng)過點.

⑴求雙曲線的標準方程;

⑵若直線與雙曲線交于不同的兩點、,且、兩點都在以點為圓心的同一圓上,求實數(shù)的取值范圍.

解:(1)因為雙曲線離心率為,所以可設雙曲線的標準方程

由此可得漸近線的斜率從而,又因為點分線段所成的比為,所以,將點的坐標代入雙曲線方程的,

所以雙曲線的方程為.

(2)設線段的中點為.

由

則且    ①

由韋達定理的由題意知,

所以  ②

由①、②得 或

8. 橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．

（1）求橢圓方程；

（2）點P是橢圓上一點，求的最值；

（3）若，求m的取值范圍．

解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝1- ，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程為：y²＋＝1　   

（2）設2x²=sin²θ,y2=cos²θ, _=…

（3）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　        

設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　  …

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，   因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，

∴－1<m<－ 或 <m<1     容易驗證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）

9. 已知正方形的外接圓方程為，A、B、C、D按逆時針方向排列，正方形一邊CD所在直線的方向向量為(3，1)．

（1）求正方形對角線AC與BD所在直線的方程；

（2）若頂點在原點，焦點在軸上的拋物線E經(jīng)過正方形在x軸上方的兩個頂點A、B，求拋物線E的方程．

解: (1)  由（x－12）²+y²=144－a(a<144),可知圓心M的坐標為(12，0)，

依題意，∠ABM=∠BAM=，k_AB= , 設MA、MB的斜率k.

則且,

解得=2，=－ ．

∴所求BD方程為x+2y－12=0，AC方程為2x－y－24=0．

(2) 設MB、MA的傾斜角分別為θ₁，θ₂，則tanθ₁＝2，tanθ₂＝－，

設圓半徑為r，則A（12＋），B（12－，），

再設拋物線方程為y²＝2px (p＞0)，由于A，B兩點在拋物線上，

∴ ∴ r=4，p=2．

得拋物線方程為y²＝4x.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m