2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）
數學（文史類）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第I卷至2頁，第II卷3至10頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
祝各位考生考試順利！
第I卷
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答在試卷上的無效．
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分．
參考公式：
?如果事件互斥，那么 ?球的表面積公式
球的體積公式
?如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函數的反函數是（ ）
A． B．
C． D．
4．若等差數列的前5項和，且，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
6．把函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（ ）
A． B．
C． D．
7．設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．設，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）
數學（文史類）
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．
2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．
3．本卷共12小題，共100分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．
11．一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工 人．
12．的二項展開式中的系數為 （用數字作答）．
13．若一個球的體積為，則它的表面積為 ．
14．已知平面向量，，若，則 ．
15．已知圓的圓心與點關于直線對稱．直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為 ．
16．有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數字作答）．
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知數列中，，，且．
（Ⅰ）設，證明是等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．
21．（本小題滿分14分）
設函數，其中．
（Ⅰ）當時，討論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
22．（本小題滿分14分）
已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．
2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）
數學（文史類）參考解答
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分24分．
11．10 12．10 13． 14．
15． 16．432
（1）設集合，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：因為，所以，選A．
（2）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為
（A）2 �。˙）3 （C）4 （D）5
解析：如圖，由圖象可知目標函數過點時取得最大值，，選D．
（3）函數（）的反函數是
（A）（） （B）（）
（C）（） �。―）（）
解析：當時，，解得，選A．
（4）若等差數列的前5項和，且，則
（A）12 �。˙）13 （C）14 （D）15
解析：，所以，選B．
（5）設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是
（A） �。˙）
（C） （D）
解析：選C，A、B、D的反例如圖．
（6）把函數（）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是
（A）， （B），
（C）， （D），
解析：選C,
．
（7）設橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為
（A） （B） （C） （D）
解析：拋物線的焦點為，橢圓焦點在軸上，排除A、C，由排除D，選B．
（8）已知函數，則不等式的解集是
（A） （B） �。–） �。―）
解析：依題意得，選A．
（9）設，，，則
（A） （B） （C） （D）
解析：，因為，所以，選D．
（10）設，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值集合為
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，在上單調遞減，所以，故，選B．
（11）一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工________________人．
解析：依題意知抽取超過45歲的職工為．
（12）的二項展開式中，的系數是________________（用數字作答）．
解析：，，所以系數為10．
（13）若一個球的體積為，則它的表面積為________________．
解析：由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，則_____________．
解析：因為，所以．
（15）已知圓C的圓心與點關于直線對稱．直線與圓C相交于兩點，且，則圓C的方程為_______________________．
解析：圓心的坐標為，所以，圓的方程為．
（16）有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數字作答）．
解析：數字之和為10的情況有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有種不同排法．
三、解答題
17．本小題主要考查特殊角三角函數值、兩角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力．滿分12分．
（Ⅰ）解：
．
由題設，函數的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
當，即時，取得最大值1，所以函數的最大值是，此時的集合為．
18．本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分．
（Ⅰ）解法一：設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率為．
解法二：設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率為．
（Ⅱ）解法一：由題設和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
解法二：由題設和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率為．
（Ⅲ）解：由題設和（Ⅰ）知，，，，．
甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分別為
，
，
．
所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為
．
19．本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間相角能力、運算能力和推理論證能力．滿分12分．
（Ⅰ）證明：在中，由題設，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以異面直線與所成的角的大小為．
（Ⅲ）解：過點作于，過點作于，連結．
因為平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．
由題設可得，
，，
，，
．
于是在中，．
所以二面角的大小為．
20．本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．
（Ⅰ）證明：由題設，得
，
即
．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
將以上各式相加，得．所以當時，
上式對顯然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以對任意的，是與的等差中項．
21．本小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：．
當時，
．
令，解得，，．
當變化時，，的變化情況如下表：
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以在，內是增函數，在，內是減函數．
（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．
解此不等式，得．這時，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）解：由條件可知，從而恒成立．
當時，；當時，．
因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當
即
在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
22．本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．滿分14分．
（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為，由題設得
解得
所以雙曲線的方程為．
（Ⅱ）解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得
．
此方程有兩個不等實根，于是，且
．整理得
． ③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足
，．
從而線段的垂直平分線的方程為
．
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得
．
整理得
，．
將上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范圍是．
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