2009年江蘇省高考數(shù)學(xué)重點內(nèi)容分類精析
一.集合(集合及其表示A;子集B,交集、并集、補集B)
1.
滿足,且
的集合
的個數(shù)是 2
2.
設(shè)是一個數(shù)集,且至少含有兩個數(shù),若對任意
都有
(除數(shù)
),則稱P是一個數(shù)域,例如有理數(shù)Q是數(shù)域。有下列命題:①數(shù)域必含有0,1兩個數(shù);②整數(shù)集是數(shù)域;③若有理數(shù)
,則數(shù)集
必為數(shù)域;④數(shù)域必為無限集。
其正確的命題的序號是 ①④ (把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)
二.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ(函數(shù)的概念B;函數(shù)的基本性質(zhì)B)
3.
若函數(shù)的定義域是
,則函數(shù)
的定義域是 [0,1]
4.
定義在R上的函數(shù)滿足
,
,則
等于
6
5.
設(shè)函數(shù),則
的值為
三.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ(指數(shù)與對數(shù)B;指數(shù)與對數(shù)的圖象和性質(zhì)B;對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)B;冪函數(shù)A;函數(shù)與方程A;函數(shù)模型及其應(yīng)用B))
6.則下列四個結(jié)論正確的是 ③ (填正確序號)
①
②
③
; ④
7.已知函數(shù)為常當(dāng)選),函數(shù)
的定義為:對每一個給定的實數(shù)
,
(1)
求對所有實數(shù)
成立的充分必要條件(用
表示)
(2)
設(shè)是兩個實數(shù),滿足
且
,若
,求證:函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為
(閉區(qū)間
的長度定義為
)
解:(1)由的定義可知,
(對所有實數(shù)
)等價于
(對所有實數(shù)
)這又等價于
,即
對所有實數(shù)
均成立. (*)
由于的最大值為
,
故(*)等價于,即
,這就是所求的充分必要條件
(2)分兩種情形討論
(i)當(dāng)時,由(1)知
(對所有實數(shù)
)
則由
及
易知
,
再由的單調(diào)性可知,
函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長度
為(參見示意圖1)
(ii)時,不妨設(shè)
,則
,于是
當(dāng)時,有
,從而
;
當(dāng)時,有
從而 ;
當(dāng)時,
,及
,由方程
解得
圖象交點的橫坐標(biāo)為
⑴
顯然,
這表明在
與
之間。由⑴易知
綜上可知,在區(qū)間上,
(參見示意圖2)
故由函數(shù)及
的單調(diào)性可知,
在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為
,由于
,即
,得
⑵
故由⑴、⑵得
綜合(i)(ii)可知,在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為
。
8.
已知二次函數(shù)
(1)
若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)
問:是否存在常數(shù)當(dāng)
時,
的值域為區(qū)間D,且D的長度為
9.水庫的蓄水量隨時間而變化,現(xiàn)用表示時間,以月為單位,年初為起點,根據(jù)歷年數(shù)據(jù),某水庫的蓄水量(單位:億立方米)關(guān)于
的近似函數(shù)關(guān)系式為
(Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以表示第1月份(
),問一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期?
(Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取計算).
解:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識,考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力.
(Ⅰ)①當(dāng)時,
,化簡得
,
解得,或
,又
,故
.
②當(dāng)時,
,化簡得
,
解得,又
,故
.
綜合得,或
;
故知枯水期為1月,2月,3月,11月,12月共5個月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)內(nèi)達(dá)到.
由V′(t)=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當(dāng)t變化時,V′(t) 與V (t)的變化情況如下表:
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
極大值
由上表,V(t)在t=8時取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(億立方米).
故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
四.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅱ(三角函數(shù)的有關(guān)概念B;同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式B;正弦、余弦的誘導(dǎo)公式B;正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)B;函數(shù)的圖象和性質(zhì)A;兩角和(差)的正弦、余弦、和正切C;二倍角的正弦、余弦和正切B;積化和差、和差化積、半角公式A)
10.函數(shù)的最小值和最大值分別為
11.已知函數(shù)(
,
)為偶函數(shù),且函數(shù)
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向右平移
個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)
的圖象,求
的單調(diào)遞減區(qū)間.
解:(Ⅰ)
.
因為為偶函數(shù),所以對
,
恒成立,
因此.
即,
整理得.因為
,且
,所以
.
又因為,故
.所以
.
由題意得,所以
.故
.因此
.
(Ⅱ)將的圖象向右平移
個單位后,得到
的圖象,
所以.
當(dāng)(
),
即(
)時,
單調(diào)遞減,
因此的單調(diào)遞減區(qū)間為
(
).
12.如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(Ⅰ)設(shè)(rad),將
表示成
的函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)(km),將
表示成
的函數(shù);
(3) 請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短。
函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅱ(兩角和(差)的正弦、余弦和正切;二倍角的正弦、余弦和正切;幾個三角不等式)
解:(Ⅰ)①由條件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=(rad) ,則
,
故,又OP=
,
所以,
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP=(km) ,則OQ=10-
,所以O(shè)A =OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為
(Ⅱ)選擇函數(shù)模型①,
令0 得sin
,因為
,所以
=
,
當(dāng)時,
,
是
的減函數(shù);
當(dāng)時,
,
是
的增函數(shù),所以當(dāng)
=
時,
。
這時點P 位于線段AB 的中垂線上,在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB 邊km處。
13.已知函數(shù)的最大值是1,其圖象經(jīng)過點M(
,
(1)求的解析式;(2)已知
,且
,求
的值。
解析:(1)依題意有,則
,將點
代入得
,
而,
,
,故
;
(2)依題意有,而
,
,
。
五.解三角形(正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用B)
14.滿足條件的三角形
的面積的最大值
15.
的三內(nèi)角
的對邊邊長分別為
,若
,則
16.如圖,△ACD是等邊三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2。
(1)求cos∠CBE的值;(2)求AE。
解:(1) 因為
所以,
(2)在中,
,故由正弦定理得
,故
17.已知函數(shù)
在
單調(diào)增加,在
單調(diào)減少,則
六.平面向量(平面向量的有關(guān)概念B;平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算B;平面向量的坐標(biāo)表示B;平面向量的數(shù)量積C;平面向量的平行與垂直B;平面向量的應(yīng)用A)
18.已知四邊形的三個頂點
,
,
,且
,
則頂點的坐標(biāo)為
19.已知平面向量,
,且
//
,則
=
20.已知為
的三個內(nèi)角
的對邊,向量
.若
,且
,
則角的大小分別為
21.設(shè)平面向量,若存在實數(shù)
和角
使向量
且
(1)求的關(guān)系式;(2)若
,求
的最小值,并求出此時的
值。
七.?dāng)?shù)列(數(shù)列的有關(guān)概念A(yù);等差數(shù)列C;等比數(shù)列C)
22.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:
|